Une matrice \(A=\left(a_{i,j}\right)\) de \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) est dite magique si elles vérifie les \(4\) conditions suivantes :

  1. Pour tout \(j\in\left\{1,2,3\right\}\), on a : \(\displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ij}=0}\).

  2. Pour tout \(i\in\left\{1,2,3\right\}\), on a : \(\displaystyle{\sum_{j=1}^3 a_{ij}=0}\).

  3. On a : \(\displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ii}=0}\).

  4. \(a_{13}+a_{22}+a_{31}=0\).

On notera \(\mathscr M\) l’ensemble des matrices magiques.

  1. Montrer que l’ensemble des matrices magiques possède une structure de \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

  2. Montrer que si \(M\in \mathscr M\) alors \({M}^{\mathrm{T}}\in \mathscr M\).

  3. Caractériser les matrices magiques antisymétriques et les matrices symétriques. On notera \(\mathscr A\) l’ensemble des matrices magiques antisymétriques et \(\mathscr S\) l’ensemble des matrices magiques symétriques.

  4. Prouver que \(\mathscr A\oplus \mathscr S=\mathscr M\).

  5. Interpréter le résultat obtenu.


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[ID: 1702] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Matrices magiques
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. \(\mathscr M\) est l’intersection des noyaux de huit formes linéaires. C’est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) comme intersection de sous-espaces vectoriels.

  2. C’est clair, les rôles des formes linéaires \(A\longmapsto \displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ik}}\) et \(A\longmapsto \displaystyle{\sum_{i=1}^3 a_{ki}}\) étant échangés.

  3. Soit \(A\in \mathscr A\). On a \(a_{11} = a_{22} = a_{33} = 0\). En posant \(a = a_{13}\) on obtient \(A = \begin{pmatrix} 0 & -a & a \\ a & 0 & -a \\ -a & a & 0 \end{pmatrix}\) et
    \(\mathscr A = \left\lbrace \begin{pmatrix} 0 & -a & a \\ a & 0 & -a \\ -a & a & 0 \end{pmatrix}\; \mid a\in \mathbb{R} \right\rbrace\).
    Soit \(A\in \mathscr S\). En posant \(a = a_{13}\) on obtient \(a_{31} = a\) et \(a_{22} = -2a\). On pose \(b = a_{12}\) d’où \(a_{21} = b\), \(a_{11} = -a-b\), \(a_{33} = b+3a\), \(a_{23} = a_{32} = 2a-b\). La somme de la \(3^{\textrm{ème}}\) colonne donne \(6a=0\). Donc \(\mathscr S = \left\lbrace \begin{pmatrix} -b & b & 0 \\ b & 0 & -b \\ 0 & -b & b \end{pmatrix}\; \mid b\in \mathbb{R} \right\rbrace\).

  4. \(\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) est la somme directe de l’espace des matrices symétriques et de l’espace des matrices symétriques. Donc a fortiori \(\mathscr A\oplus \mathscr S=\mathscr M\). (\(A = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(A+{A}^{\mathrm{T}}) + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(A-{A}^{\mathrm{T}})\)).

  5. On en déduit que \(\mathscr M = \left\lbrace \begin{pmatrix} -b & b-a & a \\ a+b & 0 & -a-b \\ -a & a-b & b \end{pmatrix}\; \mid (a,b)\in \mathbb{R}^2 \right\rbrace\).


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