Soit \(E\) l’ensemble des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\) de la forme : \(A=\left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right)\) avec \(\left(a,b\right)\in\mathbb{K}^2\).

  1. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\). Donner une base de \(E\).

  2. Montrer que \(E\) est un sous-anneau commutatif de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\).

  3. Déterminer les éléments inversibles de \(E\).

  4. Déterminer les diviseurs de zéro de \(E\).


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[ID: 1700] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 140
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. L’application \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & E \\ (a,b) & \longmapsto & \left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right) \end{array} \right.\) est linéaire, clairement surjective. Son noyau est réduit au vecteur nul. \(\varphi\) est donc bijective. Une base de \(E\) est donc, par exemple, \((\varphi(1,0),\varphi(0,1))\).

  2. \(\varphi(a,b).\varphi(a',b') = \left(\begin{array}{cc} a+b & b \\ -b & a-b \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} a'+b' & b' \\ -b' & a'-b' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} aa'+ab'+ba' & ab'+ba' \\ -ba'-ab' & aa'-ab'-ba' \end{array}\right) \phantom{\varphi(a,b).\varphi(a',b')} = \varphi(aa',ab'+ba')\). \(E\) est donc stable par multiplication. Comme il contient \(I_2 = \varphi(1,0)\), c’est un sous-anneau de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\).

  3. Les éléments inversibles de \(E\) sont ceux pour lesquels \(a\neq0\). On a alors \(\varphi(a,b)^{-1} = \varphi\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a}, -{\scriptstyle b\over\scriptstyle a^2}\right)\).

  4. En résolvant le système \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} aa' &=& 0 \\ ab'+ba' &=& 0 \end{array}\right.\) On obtient par exemple \(a=0\) ce qui interdit \(b=0\) et implique \(a'=0\). Donc les diviseurs de zéro sont les \((\varphi(0,b).\varphi(0,b'))\) avec \(bb'\neq0\).


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