Pour tout \(\forall \vartheta \in \mathbb R\), on pose \(\Gamma _{\vartheta }= \left(\begin{array}{ccc} \cos^{2}\vartheta &-\sin2\vartheta &\sin^{2}\vartheta \\ \cos\vartheta .\sin\vartheta &\cos2\vartheta &-\sin\vartheta .\cos\vartheta \\ \sin^{2}\vartheta &\sin2\vartheta &\cos^{2}\vartheta \end{array}\right)\)

  1. Démontrer que \(\Gamma = \{ \Gamma _{\vartheta }, \vartheta \in \mathbb R \}\) est un groupe.

  2. Calculer \(\mathop{\rm det}\Gamma _{\vartheta }\).


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[ID: 1696] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 153
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. Soit \(A =\Gamma _{\vartheta }.\Gamma _{\varphi}= (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant 3}\). On a

    \(\begin{array}{lll} a_{1,1} & = & \cos^2 \vartheta.\cos^2 \varphi - \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & \cos^2 \vartheta.\cos^2 \varphi - 2\sin\vartheta.\sin\varphi\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & \left( \cos\vartheta.\cos\varphi - \sin\vartheta.\sin\varphi \right)^2 = \cos^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{1,2} & = & -\cos^2 \vartheta.\sin2\varphi - \sin2\vartheta.\cos2\varphi + \sin^2 \vartheta.\sin2\varphi\\ & = & -\sin2\varphi.(\cos^2 \vartheta-\sin^2 \vartheta) - \sin2\vartheta.\cos2\varphi = -(\cos2\vartheta\sin2\varphi+\sin2\vartheta.\cos2\varphi) \\ & = & -\sin2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{1,3} & = & \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi + \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi + 2\sin\vartheta.\sin\varphi\cos\varphi.\sin\varphi + \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & \left( \cos\vartheta.\sin\varphi + \sin\vartheta.\cos\varphi \right)^2 = \sin^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{2,1} & = & \cos\vartheta.\sin\vartheta.\cos^2 \varphi + \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi -\sin\vartheta.\cos\vartheta\sin^2 \varphi\\ & = & \sin\vartheta.\cos\vartheta.(\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi)+ \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi\\ & = & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}(\sin2\vartheta.\cos2\varphi + \cos2\vartheta.\sin2\varphi) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\sin(2\vartheta+2\varphi)\\ & = & \sin(\vartheta+\varphi).\cos(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{2,2} & = & -\cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\varphi + \cos2\vartheta.\cos2\varphi -\sin\vartheta.\cos\vartheta\sin2\varphi\\ & = & \cos2\vartheta.\cos2\varphi -2\cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\varphi = \cos2\vartheta.\cos2\varphi -\sin2\vartheta.\sin2\varphi\\ & = & \cos2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{2,3} & = & \cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin^2 \varphi - \cos2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi - \sin\vartheta.\cos\vartheta.\cos^2 \varphi\\ & = & -a_{2,1} = -\sin(\vartheta+\varphi).\cos(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{3,1} & = & \sin^2 \vartheta.\cos^2 \varphi + \sin2\vartheta.\cos\varphi.\sin\varphi + \cos^2 \vartheta.\sin^2 \varphi\\ & = & a_{1,3} = \sin^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{3,2} & = & -\sin^2 \vartheta.\sin2\varphi + \sin2\vartheta.\cos2\varphi + \cos^2 \vartheta.\sin2\varphi\\ & = & -a_{1,2} = \sin2(\vartheta+\varphi). \end{array}\)

    \(\begin{array}{lll} a_{3,3} & = & \sin^2 \vartheta.\sin^2\varphi - \sin2\vartheta.\sin\varphi.\cos\varphi + \cos^2 \vartheta.\cos^2\varphi\\ & = & a_{1,1} = \cos^2( \vartheta + \varphi). \end{array}\)

    Finalement \(\Gamma _{\vartheta }.\Gamma _{\varphi}=\Gamma _{\vartheta+\varphi}\). On a donc un morphisme de \(\mathbb R\) sur \(\Gamma\), qui fait donc de \(\Gamma\) un groupe.

  2. Un calcul avec la règle de Sarrus n’est jamais méprisable :
    \(\begin{array}{lll} \mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta } & = & \cos^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\cos^2 \vartheta + \sin2\vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta.\sin^2 \vartheta + \cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\vartheta.\sin^2\vartheta \\ & & - \sin^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\sin^2 \vartheta. + \sin2 \vartheta.\cos\vartheta.\sin\vartheta.\cos^2 \vartheta + \cos^2 \vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta.\sin2\vartheta\\ & = & \cos^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\cos^2 \vartheta + \sin2\vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta + \cos\vartheta.\sin\vartheta.\sin2\vartheta - \sin^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\sin^2 \vartheta\\ & = & \cos^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\cos^2 \vartheta + 2.\sin2\vartheta.\sin\vartheta.\cos\vartheta - \sin^2 \vartheta.\cos2\vartheta.\sin^2 \vartheta\\ & = & \cos2\vartheta.(\cos^4\vartheta - \sin^4\vartheta) + \sin2\vartheta.\sin2\vartheta.\\ & = & \cos2\vartheta.(\cos^2\vartheta - \sin^2\vartheta).(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta) + \sin2\vartheta.\sin2\vartheta.\\ & = & \cos2\vartheta.\cos2\vartheta + \sin2\vartheta.\sin2\vartheta = \cos^2(2\vartheta) + \sin^2(2\vartheta) = 1. \end{array}\).
    Si on utilise le fait que \(\Gamma = \{ \Gamma _{\vartheta }, \vartheta \in \mathbb R \}\) est un groupe, alors un argument plus savant permet d’aboutir au même résultat :
    Tous les éléments de \(\Gamma _{\vartheta }\) sont en valeur absolue inférieurs á \(1\). Donc \(\vert \mathop{\rm det}\Gamma _{\vartheta}\vert \leqslant \displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak S_3} 1 \leqslant 6\).
    Or \(\vartheta \longrightarrow \mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta}\) est un morphisme de groupes. Son image est donc un sous-groupe borné de \(\mathbb R\). Il est donc inclus dans \(\{-1;1\}\). De plus, \(\vartheta \longrightarrow \mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta }\) est une application continue de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), son image est donc un intervalle. C’est donc \(\{1\}\). Donc, \(\forall \vartheta \in \mathbb R\), \(\mathop{\rm det}\Gamma_{\vartheta } = 1\).


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