On considère le sous-espace vectoriel \(V\) de \(\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{\mathbb{R} })\) engendré par les matrices \[A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \quad\textrm{ et } \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\] Montrez qu’aucun élément de \(V\) n’est inversible. Montrez que \((V, +, \times)\) est un corps isomorphe à \(\mathbb{C}\).


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[ID: 1694] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 306
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Soit \(M = \lambda A + \mu B\) et \(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). On a \(MX = 0\). Donc \(M\) n’est pas inversible.
Pour la suite, on a besoin de quelques calculs euphorisants : \(AB = BA = -(A+B);\; A^2 = B - 2A;\; B^2 = A - 2B\). On en déduit que \(V\) est stable par multiplication. On remarque ensuite que \((\lambda A + \mu B)(\lambda' A + \mu' B) = \left[ (\lambda - \mu)(\lambda' - \mu') - 3\lambda \lambda'\right] A + \left[ (\lambda - \mu)(\lambda' - \mu') - 3\mu \mu'\right] B\). On en déduit que la multiplication est commutative dans \(V\). On cherche l’élément neutre de \(V\) sous la forme \(\lambda' A + \mu' B\). On doit avoir \((\lambda A + \mu B)(\lambda' A + \mu' B) = \lambda A + \mu B\) pour tous \(\lambda\) et \(\mu\), donc en particulier lorsque \(\lambda-\mu = 0\), ce qui donne \(\lambda' = \mu' = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\). On pose alors \(E = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}(A+B)\). Ensuite on vérifie que \(A(A+B)+3A = B(A+B)+3B = 0\) ce qui veut bien dire que \(AE = A\) et \(BE = B\). On en déduit par linéarité que \(E\) est élément neutre de \(V\) pour la multiplication.
Enfin \((A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB = -(A+B) + 2(A+B) = -3E\). Donc en posant \(J = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt 3} (A-B)\), on a \(J^2 = -E\).
Maintenant on a tout reconstitué : \((E,J)\) est une base de \(V\) et \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & V \\ z=a+bi & \longmapsto & aE+bJ \end{array} \right.\) est un isomorphisme d’anneaux qui transporte la structure de corps de \(\mathbb{C}\) sur \(V\).


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