Soit \(c>0\). \[M(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} \left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac xc \\ \dfrac xc & 1 \end{array}\right) \;;\; x \in ]-c;c[.\] Démontrer que cet ensemble de matrices est un sous-groupe. (de quoi ?)


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[ID: 1692] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 374
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

On pose \(\varphi =\)argth\(\left( {\scriptstyle x\over\scriptstyle c} \right)\); Soit \(x = c.\)th\(\varphi\). Or \(1 -\) th\(^2\varphi = \dfrac{1}{\textrm{ch}^2\varphi}\). Donc \(\dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} = \textrm{ch}\varphi\), et \(\dfrac{{\scriptstyle x\over\scriptstyle c}}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle c^2}}} = \textrm{sh}\varphi\). Donc \(M(x) = \left(\begin{array}{cc} \textrm{ch}\varphi & \textrm{sh}\varphi\\ \textrm{sh}\varphi & \textrm{ch}\varphi \end{array} \right)\). En posant \(\vartheta =\)argth\(\left( {\scriptstyle y\over\scriptstyle c} \right)\),
on a \(M(x).M(y) = \left(\begin{array}{cc} \textrm{ch}(\varphi+\vartheta) & \textrm{sh}(\varphi+\vartheta)\\ \textrm{sh}(\varphi+\vartheta) & \textrm{ch}(\varphi+\vartheta) \end{array} \right)\). On obtient bien un sous-groupe du groupe des matrices inversibles. On l’appelle le groupe de Lorentz.


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