Posons : \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right) \quad \textrm{ et} \quad J=\left(\begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\right)\] et \(E=\left\{xI+yJ ~|~ \left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2\right\}\). Vérifier que \(J^2=-I\) et montrer que l’application \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & E \\ x+iy & \longmapsto & xI+yJ \end{array} \right.\) est un isomorphisme de corps.


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[ID: 1690] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 833
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

\(\theta\) est linéaire, et \(\theta(x+iy)=xI+yJ=0\) n’est vérifié que pour \(x=y=0\). \(\theta\) est donc un isomorphisme linéaire entre \(E\) et \(\mathbb{C}\).
Une fois établi \(J^2=-I\), on en déduit que \(\theta((xI+yJ)(x'I+y'J)) = \theta((xx' - yy')I + (xy'+yx')J) = \theta(xI+yJ) \theta(x'I+y'J)\). Comme on a \(\theta(I) = 1\), on a bien un isomorphisme de corps.


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