Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\). On note \(\mathcal{C}\) l’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\).
Montrer que \(\mathcal{C}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) et déterminer sa dimension.


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[ID: 1688] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 806
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

\(\mathcal{C}\) est le noyau de \(f_A : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) \\ X & \longmapsto & AX - XA \end{array} \right.\) et en tant que tel est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\). On a clairement \(A\in\mathcal{C}\) et \(I_2\in\mathcal{C}\). Remarquons aussi que les matrices de \(\mathcal{C}\) commutent aussi avec \(S = A - I_2 = \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}\). Soit \(M = \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\in\mathcal{C}\), on a \(SM = \begin{pmatrix} c&d \\ -a&-b \end{pmatrix}\) et \(MS = \begin{pmatrix} -b&a \\ -d&c \end{pmatrix}\). On a donc \(-b=c\) et \(a=d\). Donc \(\mathcal{C}\) est bien le sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) engendré par \(A\) et \(I_2\) (ou par \(S\) et \(I_2\).)


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