Soient les ensembles \[{L=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&0\\ 0&0 \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~ x\in \mathbb{R} \right\}\textrm{ et } M=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ -x&-x \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~x\in \mathbb{R} \right\}}.\]

Étudier si, munis des lois usuelles, \(L\) et \(M\) sont des anneaux, des corps.


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[ID: 1686] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 264
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Soit \(A(x) = \left ( \begin{array}{ll} x&0\\ 0&0 \end{array} \right )\). On a \(A(x)+A(y)=A(x+y)\) et \(A(x)+A(y)=A(x+y)\). On vérifie ainsi que \(M\) est un anneau et même un corps. De fait, \(A~: x\in\mathbb{R} \longmapsto A(x)\) est un morphisme d’anneaux.
Soit \(B(x) = \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ -x&-x \end{array} \right ) = xA(1)\). On a \(A(1)^2 = 0\). On en déduit que \(A(x)A(y) = 0 = A(0)\). La multiplication est donc associative, commutative, distributive par rapport à l’addition. En revanche il n’y a pas d’élément neutre. Bien entendu, \(M\) n’est pas un corps.


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