1. L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a^2-b^2-c^2-d^2 \leqslant 1\) est il un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?

  2. L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) avec \(a\in {\mathbb{R}}^*\) et \(b\in {\mathbb{R}}\) est-il un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?

  3. Existe-t-il une valeur \(M\in {\mathbb{R}}\) telle que l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a\leqslant M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) ?


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[ID: 1684] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 618
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. L’ensemble \(G\) des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a^2-b^2-c^2-d^2 \leqslant 1\) n’est pas un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). En effet les deux matrices \(\begin{pmatrix} 1 & 1\cr 0 & 1/2 \cr \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 1 & 1/2\cr \end{pmatrix}\) appartiennent à \(G\) et leur produit \(\begin{pmatrix} 2 & 1/2 \cr 1/2 & 1/4\cr \end{pmatrix}\) n’appartient pas à \(G\).

  2. L’ensemble \(H\) des matrices \(\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) avec \(a\in {\mathbb{R}}^*\) et \(b\in {\mathbb{R}}\) est un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). En effet,

    \(\bullet\) \(I_2\) élément neutre de \(Gl_2({\mathbb{R}})\) appartient à \(H\).

    \(\bullet\) Soient \(M=\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\) et \(M'=\begin{pmatrix} c & d \cr 0 & c^{-1} \cr \end{pmatrix}\) deux éléments de \(H\) alors \(MM'=\begin{pmatrix} ac & ad+bc^{-1} \cr 0 & (ac)^{-1} \cr \end{pmatrix}\) donc le produit de deux éléments de \(H\) appartient à \(H\).

    \(\bullet\) Soit \(M=\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}\). Alors \(M^{-1} =\begin{pmatrix} a^{-1} &- b \cr 0 & a \cr \end{pmatrix}\) appartient à \(H\).

  3. Soit \(K_M\) l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d\in {\mathbb{R}}\) tels que \(ad-bc\not = 0\) et \(a\leqslant M\). Nous allons montrer, en raisonnant par l’absurde, qu’il n’existe pas de valeur \(M\in {\mathbb{R}}\) telle que \(K_M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\).

    Soit \(M\in {\mathbb{R}}\) tel que \(K_M\) forme un sous-groupe de \(Gl_2({\mathbb{R}})\). Alors \(I_2\) appartient à \(K_M\) donc \(M\geqslant 1\). Ainsi, les matrices \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}\) et, pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\), \(A_n=\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr n & 1 \cr \end{pmatrix}\) appartiennent à \(K_n\) donc le produit \(AA_n=\begin{pmatrix} 1+n & 2 \cr n & 1 \cr \end{pmatrix}\) appartient à \(K_n\). En conséquence, pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\), on a : \(1+n\leqslant M\), ce qui est absurde.


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