1. L’ensemble \(E=\left\{\left(\begin{smallmatrix} a&0\\0&0 \end{smallmatrix}\right) :a\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}\right\}\) muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est-il un groupe ?

  2. L’ensemble \(\mathcal{S}_2(\mathbb{R})\) des matrices symétriques réelles d’ordre \(2\) muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est-il un groupe ?


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[ID: 1682] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 107
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48
  1. Oui. \(\begin{pmatrix} a&0\\0&0\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} b&0\\0&0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab&0\\0&0\\ \end{pmatrix}\). On a un groupe abélien.

  2. Non. Le produit de deux matrices symétriques n’a aucune raison d’être symétrique : \(\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0&0\\0&1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\\ \end{pmatrix}\). La loi n’est pas interne.


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