Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : \[{ \textrm{ GL}(2,\mathbb{R})\cap\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right),\quad \left\{M\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)~\mid~\mathop{\rm det}M=1\right\} \textrm{ ?} }\]


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[ID: 1680] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 236
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Le premier ensemble n’est pas un groupe car, par exemple, la matrice \(\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\ \end{pmatrix}\) ne peut avoir pour inverse que \(\begin{pmatrix} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}&0\\0&{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\\ \end{pmatrix}\) qui n’appartient pas à l’ensemble.

Notons \(G = \{ M \in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right) ~\mid~ \mathop{\rm det}M = 1 \}\) et montrons que \(G\) est un sous-groupe de \(GL_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).

  • la matrice identité appartient à \(G\).

  • si \(A,B \in G\) alors \(AB \in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)\) et \(\mathop{\rm det}AB = \mathop{\rm det}A \times \mathop{\rm det}B = 1\times 1 =1\), et donc \(AB \in G\).

  • Si \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\) (\(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\)) alors \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\rm det}A}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix}\) appartient à \(G\) et est l’inverse de \(A\).


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