Soit l’ensemble \[{\mathcal{J}=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ x&x \end{array} \right )\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)~\mid~ x\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} \right\}.}\] Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, \(\mathcal{J}\) est un groupe abélien.


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[ID: 1678] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 235
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Soit \(J(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ x & x \end{pmatrix}\) et \(J = J(1)\) . On a \(J^2 = 2J\) et \(J(x)J(y) = 2xyJ = J(2xy)\). On a donc la stabilité et la commutativité. On a aussi \(J(x)J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}) = J(x)\) donc \(J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2})\) est élément neutre et \(J(x)J(y) = J({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2})\) lorsque \(2xy = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\) soit \(y = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4x}\). Tout élément admet bien un symétrique.


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