Soit \(A\in {\mathfrak M}_{n}(\mathbb R)\) définie par \(a_{ij}= (-1)^{i}. \left(\begin{array}{c} n-j-1 \newline i\end{array}\right) (0\leqslant i,j\leqslant n-1)\).

  1. Démontrer que \(A^{3}= (-1)^{n-1}I_{n}\).

    On pourra considérer \(L: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{n-1}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_{n-1} \left[X\right] \\ P(X) & \longmapsto & (1-X)^{n-1}.P\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-X}\right) \end{array} \right.\).
  2. En déduire que \[\sum^{n-1}_{k=0} \sum^{n-1}_{\ell=0} (-1)^{i+k+\ell}\left(\begin{array}{c} n-k-1 \\ i\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} n-\ell-1 \\ j\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} n-j-1 \\ \ell \end{array}\right) = (-1)^{n-1}\delta _{ij}\] pour tout \((n,i,j)\in (\mathbb N^{*})^{3}\), \(i,j \leqslant n\).


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[ID: 1676] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 65
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:46
  1. Remarquons que \(L\) est bien linéaire, et que \(L(X^k) = (1-X)^{n-1}.\dfrac{1}{(1-X)^k} = (1-X)^{n-k-1} \in \mathbb{R}_{n-1} \left[X\right]\). \(L\) est donc bien un endomorphisme. \(L^2(X^k) = (1-X)^{n-1} \left( 1 - \dfrac{1}{1-X}\right) ^{n-k-1} = (1-X)^{n-1} \left( \dfrac{-X}{1-X}\right)^{n-k-1} = (-X)^{n-k-1}(1-X)^k\).
    \(L^2(X^k) = (1-X)^{n-1} \left( - \dfrac{1}{1-X}\right)^{n-k-1} \left( 1- \dfrac{1}{1-X}\right)^k = (1-X)^{n-1} \left( - \dfrac{1}{1-X}\right)^{n-k-1} \left( \dfrac{-X}{1-X}\right)^k = (-1)^{n-1} X^k\).
    Donc \(L^3 = (-1)^{n-1} \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{\mathbb{R}_{n-1} \left[X\right]}\).
    Enfin La matrice de \(L\) dans la base naturelle de \(\mathbb{R}_{n-1} \left[X\right]\) est donnée par ses vecteurs colonnes. La \(j^{\textrm{ème}}\) est donnée par \(L(X^j) = (1-X)^{n-j-1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-j-1} (-1)^{i} \binom{n-j-1}{i} X^i = \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{i} \binom{n-j-1}{i} X^i\). On retrouve donc bien la matrice \(A\).
    On a donc bien \(A^{3}= (-1)^{n-1}I_{n}\).

  2. Le calcul de \(B = A^3\) s’obtient par
    \(b_{ij} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{\ell=0}^{n-1} a_{ik}a_{k\ell} a_{\ell j} = \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{\ell=0}^{n-1} (-1)^{i} \binom{n-k-1}{i} (-1)^{k} \binom{n-\ell-1}{k} (-1)^{\ell} \binom{n-j-1}{\ell}\). D’où le résultat.


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