Soit \(A \in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} })\). On définit l’application \[f_A : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) \\ X & \longmapsto & AX \end{array} \right.\]

  1. Vérifier que \(f_A\) est un endomorphisme de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} })\), et déterminer sa matrice dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} })\).

  2. Comparer \(\mathop{\mathrm{rg}}f_A\) et \(\mathop{\mathrm{rg}}u_A\)\(u_A\) est l’unique endomorphisme de matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{2}\).


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[ID: 1674] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 996
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:46
  1. Si \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\), on trouve \(M = \begin{pmatrix} a&0&b&0\\ 0&a&0&b\\ c&0&d&0\\ 0&c&0&d \end{pmatrix}\).

  2. En général on a \(\mathop{\mathrm{rg}}f_A = 2\mathop{\mathrm{rg}}u_A\). Si \(A\) est inversible, alors \(f_A\) est inversible, et \(f_A^{-1}\) est définie par
    \(f_A^{-1} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{R} }) \\ X & \longmapsto & A^{-1}X \end{array} \right.\). Donc \(\mathop{\mathrm{rg}}f_A = 4 = 2\mathop{\mathrm{rg}} u_A\).
    Si \(A\) est nulle, il en est de même pour \(f_A\).
    Si \(A\) est de rang \(1\), alors il existe une relation de dépendance linéaire entre les deux colonnes. On retrouve cette relation entre la premières et troisième colonne de \(M\) d’une part et entre la deuxième et la quatrième d’autre part. Donc l’espace engendré par les colonnes de \(M\) est de dimension inférieure ou égale à \(2\). Par ailleurs la première et la deuxième colonne sont linéairement indépendantes. D’où le résultat.


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