On considère la matrice \(A=\left(a_{ij}\right)\in\mathfrak{M}_{n+1}\left(\mathbb{R}\right)\) donnée par : \(\forall \left(i,j\right)\llbracket 1,n+1\rrbracket,\quad a_{ij}=\binom{j-1}{i-1}\). On suppose que \(A\) est la matrice d’un endomorphisme \(\theta\in\mathfrak{L}\left(\mathbb{R}_n\left[X\right]\right)\) dans la base canonique \(e=\left(1,X,\dots,X^n\right)\) de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).

  1. Soit \(P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]\). Expliciter \(\theta\left(P\right)\).

  2. En déduire que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).

  3. Calculer \(A^m\) pour tout \(m\in\mathbb{N}\).


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[ID: 1672] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 192
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:46
  1. Soient \(P=a_0+a_1X+\dots+a_n X^n \in\mathbb{R}_n\left[X\right]\) et \(V=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(P\right)=\begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n \end{pmatrix}\). On a : \[\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\theta\left(P\right)\right)=AV=\begin{pmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{0}&\dots&\binom{n}{0}\\ 0 &\binom{1}{1}&\dots&\binom{n}{1}\\ \vdots& \cdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\binom{n}{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0 \\ \\\vdots \\ \\a_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum_{k=0}^n \binom{k}{0}a_k\\ \sum_{k=1}^n \binom{k}{1}a_k\\ \vdots \\ \binom{n-1}{n-1}a_{n-1}+\binom{n}{n-1}a_n \\ \binom{n}{n}a_n \end{pmatrix}\] et donc \(\theta\left(P\right)=\left(\sum_{k=0}^n \binom{k}{0}a_k\right) + \left(\sum_{k=1}^n \binom{k}{1}a_k\right) X + \dots+\left(\binom{n-1}{n-1}a_{n-1}+\binom{n}{n-1}a_n\right)X^{n-1}+\binom{n}{n}a_nX^n\), ce qui amène, en regroupant par coefficients et en utilisant la formule du binôme : \[\begin{aligned} \theta\left(P\right)&=& a_n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}X^k+ a_{n-1}\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}X^k+\dots+a_1\left(X+1\right)+a_0\\ &=& a_n\left(X+1\right)^n+a_{n-1}(X+1)^{n-1}+\dots+a_1(X+1)+a_0\\ &=&P\left(X+1\right)\end{aligned}\] On a alors montré que \(\boxed{\theta\left(P\right)=P\left(X+1\right)}\).

  2. \(\theta\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_{n}\left[X\right]\) et , pour tout \(P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]\), \(\theta^{-1}\left(P\right)=P\left(X-1\right)\). On déduit de la question précédente que \(A\) est inversible et que : \(A^{-1}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e \left(\theta^{-1}\right)=\left(b_{ij}\right)\) avec pour tout \(i,j\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(\boxed{b_{ij}=\left(-1\right)^{j-i}\binom{j-1}{i-1}}\)

  3. De la même façon que précédemment, \(A^m=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\theta^m\right)\) et, pour tout \(P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]\), \(\theta^m\left(P\right)=P\left(X+m\right)\) donc \(A^m=\left(c_{ij}\right)\) avec pour tout \(i,j\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(\boxed{c_{ij}=m^{j-i}\binom{j-1}{i-1}}\).


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