On considère un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\) et \(f\) un endomorphisme non nul de \(E\). Montrez que \(f^2 = 0\) si et seulement s’il existe une base \(e\) de \(E\) telle que \[\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]


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[ID: 1670] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 908
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:46

Si \(f^2 = 0\), \(\mathop{\mathrm{Im}}f \subset \operatorname{Ker}f\). D’après le théorème du rang, \[\dim \mathop{\mathrm{Im}}f + \dim\operatorname{Ker}f = 3\] Comme \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f \leqslant\dim \operatorname{Ker}f\), il vient que \(3 \leqslant 2 \dim\operatorname{Ker}f\) et donc que \(\dim \operatorname{Ker}f \geqslant 2\). Comme \(f\) n’est pas l’endomorphisme nul, \(\dim \operatorname{Ker}f = 2\) et \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f = 1\). Donc il existe un vecteur \(e_1\in E\) non-nul tel que \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Vect}}(e_1)\). On complète en une base \((e_1,e_3)\) de \(\operatorname{Ker}f\) que l’on complète ensuite en une base \((e_1,e_2,e_3)\) de \(E\). Comme \(f(e_2)\in \mathop{\mathrm{Im}}f\), il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(f(e_2) = \lambda e_1\). Mais \(\lambda\) n’est pas nul (sinon \(f=0\)) ; on pose alors \(\varepsilon_2 = \dfrac{1}{\lambda} e_2\). La matrice de \(f\) dans la base \(e=(e_1,\varepsilon_2,e_3)\) est de la forme souhaitée. La réciproque est évidente.


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