On considère l’espace vectoriel \(E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)\) et les vecteurs \(f_1,f_2,f_3,f_4\in E\) donnés par : \[f_1:x\mapsto \mathop{\mathrm{ch}}x,\quad f_2:x\mapsto \mathop{\mathrm{sh}} x ,\quad f_3:x \mapsto x\mathop{\mathrm{ch}}x \quad \textrm{ et} \quad f_4: x \mapsto x\mathop{\mathrm{sh}}x\]

  1. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) engendré par la famille \(f=\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\).

  2. Soit \(\varphi:f \mapsto f'''-2f''+f'-f\). Montrer que \(\varphi\in\mathfrak{L}\left(E\right)\).

  3. Déterminer la matrice de \(\varphi\) dans la base \(f\).

  4. \(\varphi\) est-elle un automorphisme de \(F\) dans \(F\)? Si oui, déterminer la matrice de \(\varphi^{-1}\) dans la base \(f\).

  5. Trouver une solution particulière de l’équation différentielle : \(f'''-2f''+f'-f = \mathop{\mathrm{sh}}x + x \mathop{\mathrm{ch}}x\).

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[ID: 1668] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 920
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:46

  1. \(\dim F = 4\) car la famille \(f\) est libre. En effet supposons \(\forall x\in\mathbb{R}, a\mathop{\mathrm{ch}}x + b\mathop{\mathrm{sh}}x +c x\mathop{\mathrm{ch}}x +dx\mathop{\mathrm{sh}}x = 0\), en regardant en \(0\), on a \(a= 0\) on a donc \(dx\mathop{\mathrm{sh}}x = -(b\mathop{\mathrm{sh}}x +c x\mathop{\mathrm{ch}}x)\) qui est donc une fonction impaire, d’où \(d = 0\). Comme en \(b\mathop{\mathrm{sh}}x = \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) on en déduit que \(d\), puis \(c\) sont nuls. Une autre technique consiste à utiliser les développements limités. En effet, un \(DL(0,3)\) de \(f(x)=a\mathop{\mathrm{ch}}x + b\mathop{\mathrm{sh}}x +c x\mathop{\mathrm{ch}}x +dx\mathop{\mathrm{sh}}x\) est \[f(x)= a+\left(b+c\right)x+\left(a/2+d\right)x^2+\left(b/6+c/2\right)x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\] et comme \(f\) est nulle, par unicité du développement limité, il vient : \[\begin{cases} a&=0\\ b+c&=0\\ a/2+d&=0\\ b/3+c&=0 \end{cases} .\] L’unique solution de ce système est \(a=b=c=d=0\).

  2. La linéarité est claire. \(\varphi(f_1) = f_2 - 2f_1 + f_2 - f_1 = 2f_2 - 3f_1, \varphi(f_2) = 2f_1 - 3f_2, \varphi(f_3) = 2f_4 - 3f_3 + 4f_1 - 4f_2\) et \(\varphi(f_4) = 2f_3 - 3f_4 + 4f_2 - 4f_1\).

  3. \(M = \begin{pmatrix} -3 & 2& 4 & -4 \\ 2 & -3 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}.\)

  4. \(M^{-1} = -\dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} 15 & 10 & 4 & -4 \\ 10 & 15 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 15 & 10 \\ 0 & 0 & 10 & 15 \end{pmatrix}.\) Comme \(M^{-1}\) existe, \(\varphi\) est un automorphisme de \(F\).

  5. On cherche une solution \(u\in F\), vérifiant \(\varphi(u) = f_2 + f_3 = v\). Il suffit de prendre \(u = \varphi^{-1}(u)\) pour cela on calcule \(--\dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} 15 & 10 & 4 & -4 \\ 10 & 15 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 15 & 10 \\ 0 & 0 & 10 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{25} \begin{pmatrix} 14\\ 11\\ 3\\ 2\end{pmatrix}\) D’où \(u = -\dfrac{1}{25} \left( 14\mathop{\mathrm{ch}}x +11\mathop{\mathrm{sh}}x +3 x\mathop{\mathrm{ch}}x +2x\mathop{\mathrm{sh}}x \right)\).

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