Soit \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_3\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'+P \end{array} \right.\).

  1. Prouver que \(\varphi\in\mathfrak{L}\left(\mathbb{R}_3\left[X\right]\right)\).

  2. Calculer la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\).

  3. Démontrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse.

  4. En déduire que \(\varphi\) est bijective et calculer l’image réciproque de chacun des éléments de la base canonique de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\) par \(\varphi\).


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[ID: 1666] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1029
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:46
  1. La linéarité provient de la linéarité de la dérivation et de la multiplication par \(X\). Reste à démontrer que \(XP'+P\) est un polynôme et que \(\deg (XP'+P) \leqslant 3\) ce qui ne pose pas de difficulté.

  2. On a \(\varphi\left( X^k\right) = XkX^{k-1} + X^k = (k+1) X^k\). D’où la matrice : \(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.\)

  3. \(M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4} \end{pmatrix}.\)

  4. On a \(\varphi^{-1}\left( X^k\right) = \dfrac{1}{k+1}X^k\).


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