Lecture zen
*
Exercice 1029
Soit \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_3\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'+P \end{array} \right.\).
Prouver que \(\varphi\in\mathfrak{L}\left(\mathbb{R}_3\left[X\right]\right)\).
Calculer la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\).
Démontrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse.
En déduire que \(\varphi\) est bijective et calculer l’image réciproque de chacun des éléments de la base canonique de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\) par \(\varphi\).
Barre utilisateur
[ID: 1666] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1029
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:46
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:46
La linéarité provient de la linéarité de la dérivation et de la multiplication par \(X\). Reste à démontrer que \(XP'+P\) est un polynôme et que \(\deg (XP'+P) \leqslant 3\) ce qui ne pose pas de difficulté.
On a \(\varphi\left( X^k\right) = XkX^{k-1} + X^k = (k+1) X^k\). D’où la matrice : \(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.\)
\(M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4} \end{pmatrix}.\)
On a \(\varphi^{-1}\left( X^k\right) = \dfrac{1}{k+1}X^k\).
Documents à télécharger
L'exercice