Pour chacune des applications linéaires suivantes :

  1. vérifier que \(u\) est linéaire.

  2. déterminer sa matrice dans les bases canoniques des espaces vectoriels considérés.

  3. déterminer son rang.

  4. Déterminer \(u^{-1}\) quand cette application existe.

  5. calculer l’image du vecteur \(V\) donné en utilisant cette matrice.

  1. \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y+z,x-2y-3z\right) \end{array} \right.\) et \(V=\left(0,1,-1\right)\)..

  2. \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+z,y-z,z-x\right) \end{array} \right.\) et \(V=\left(1,2,-1\right)\).

  3. On pose \(\overrightarrow{v}=\left(1,1,1\right)\). \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \overrightarrow{u} & \longmapsto & \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \end{array} \right.\) et \(V=\left(-1,0,2\right)\).

  4. \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_3\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'\left(X\right) -P \end{array} \right.\) et \(V=X^3-3X^2+X-1\).

  5. \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_2\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ P & \longmapsto & \left(P\left(0\right),P\left(1\right),P\left(2\right)\right) \end{array} \right.\) et \(V=X^2-X+1\).

  6. \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) \\ M & \longmapsto & {M}^{\mathrm{T}} \end{array} \right.\) et \(V= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix}\).

  7. \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) \\ M & \longmapsto & EM \end{array} \right.\)\(E=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}\) et \(V= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\)


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[ID: 1662] [Date de publication: 1 avril 2021 11:46] [Catégorie(s): Représentation matricielle d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 496
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:46
    1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire.

    2. \(A =\mathop{\mathrm{Mat}}_{e'\Leftarrow e}\left(u\right)= \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&-2&-3 \end{pmatrix}\)\(e\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et \(e'\) celle de \(\mathbb{R}^2\).

    3. \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(u\right)=\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=2\)

    4. \(u\) ne peut être bijective car \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\) ne sont pas de même dimension.

    5. On a \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e'}{V}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\) et \(AB=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\). Donc \(u\left(V\right)=\left(0,1\right)\).

    1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire.

    2. \(A = \mathop{\mathrm{Mat}}_{ e}\left(u\right)=\begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&-1\\-1&0&1 \end{pmatrix}\)\(e\) désigne la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).

    3. \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(u\right)=\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=3\)

    4. On en déduit que \(u\) est bijective. De plus \(A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0&-1\\1&2&1\\1&0&1\end{pmatrix}\) donc \(u^{-1}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \dfrac{1}{2}\left(x-z,x+2y+z,x+z\right) \end{array} \right.\)

    5. On a \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}{V}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) et \(AB=\begin{pmatrix} 0\\3 \\-2 \end{pmatrix}\). Donc \(u\left(V\right)=\left(0,3,-2\right)\).

    1. \(u\) est linéaire par bilinéarité du produit vectoriel.

    2. \(A = \mathop{\mathrm{Mat}}_{ e}\left(u\right)=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0 \end{pmatrix}\)\(e\) désigne la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).

    3. \(\mathop{\mathrm{rg}}u = \mathop{\mathrm{rg}}A = 2\).

    4. \(u\) n’est donc pas bijective.

    5. On a \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}{V}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}\) et \(AB=\begin{pmatrix} -2\\3\\-1 \end{pmatrix}\). Donc \(u\left(V\right)=\left(-2,3,-1\right)\).

    1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire.

    2. \(A =\mathop{\mathrm{Mat}}_{ e}\left(u\right)=\begin{pmatrix} -1&0&0&0 \\ 0&0&0&0\\0&0&1&0 \\0&0&0&2\end{pmatrix}\)\(e=\left(1,X,X^2,X^3\right)\) est la base canonique de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\).

    3. \(\mathop{\mathrm{rg}}u = \mathop{\mathrm{rg}}A = 3\).

    4. \(u\) n’est donc pas bijective.

    5. On a \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}{V}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\\1\end{pmatrix}\) et \(AB=\begin{pmatrix} 1\\0\\-3\\2 \end{pmatrix}\). Donc \(u\left(V\right)=2X^3-3X^2+1\).

    1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire.

    2. \(A =\mathop{\mathrm{Mat}}_{e'\Leftarrow e}\left(u\right)= \begin{pmatrix} 1&0&0 \\1&1&1\\1&2&4 \end{pmatrix}\)\(e'\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et \(e\) celle de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

    3. \(\mathop{\mathrm{rg}}u = \mathop{\mathrm{rg}}A = 3\).

    4. \(A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2&0&0\\-3&4&-1\\1&-2&1\end{pmatrix}\). On en déduit que \(u^{-1}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}_2\left[X\right] \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \dfrac{1}{2}\left(2x + \left(-3x+4y-z\right)X + \left(x-2y+z\right)X^2\right) \end{array} \right.\)

    5. On a \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}{V}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) et \(AB=\begin{pmatrix} 1\\1 \\3 \end{pmatrix}\). Donc \(u\left(V\right)=3X^2+X+1\).

    1. \(u\) est linéaire car l’opération de transposition est linéaire.

    2. \(A = \mathop{\mathrm{Mat}}_{ e}\left(u\right)=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}\)\(e=\left(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\right)\) est la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\)

    3. \(\mathop{\mathrm{rg}}u = \mathop{\mathrm{rg}}A = 4\).

    4. On vérifie sans peine que \(A^{-1}=A\) ce qui se vérifie par ailleurs en remarquant que la transposition est une symétrie de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).

    5. On a \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}{V}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(AB=\begin{pmatrix} 1\\0 \\-1\\1 \end{pmatrix}\). Donc \(u\left(V\right)=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\)

    1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire.

    2. \(A =\mathop{\mathrm{Mat}}_{ e}\left(u\right)= \begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}\)\(e=\left(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\right)\) est la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\)

    3. \(\mathop{\mathrm{rg}}u = \mathop{\mathrm{rg}}A = 4\).

    4. On vérifie que \(A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\). On montre par ailleurs que : \(u^{-1}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right) \\ M & \longmapsto & E^{-1}M \end{array} \right.\)

    5. On a \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}{V}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}\) et \(AB=\begin{pmatrix} 1\\1 \\1\\0 \end{pmatrix}\). Donc \(u\left(V\right)=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\)


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