Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). On suppose qu’il existe \(\lambda ,\mu \in \mathbb{K}\) et \(U,V \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tels que : \(A = \lambda U + \mu V\), \(A^2 = \lambda ^2 U + \mu ^2 V\), \(A^3 = \lambda ^3U + \mu ^3V\).

  1. Montrer que : \(\forall p \in \mathbb{N}^*\), \(A^p = \lambda ^pU + \mu ^pV\) (chercher une relation linéaire entre \(A\), \(A^2\), \(A^3\)).

  2. On suppose ici \(\lambda \neq \mu\), \(\lambda \neq 0\) et \(\mu \neq 0\). Soit \(X\) un vecteur propre de \(A\). Montrer que \(X\) est vecteur propre de \(U\) et de \(V\) avec les valeurs propres \(0,0\) ou \(1,0\), ou \(0,1\).

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[ID: 4613] [Date de publication: 11 avril 2024 17:30] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(A, A^2 , A^3\) données \(\Rightarrow A^p\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:30

  1. \(A^3 - (\lambda +\mu )A^2 + \lambda \mu A = 0\).

  2. \(U=\dfrac{\mu A-A^2 }{\lambda (\mu -\lambda )}\), \(V=\dfrac{\lambda A-A^2 }{\mu (\lambda -\mu )}\) et la valeur propre est \(0\), \(\lambda\) ou \(\mu\).

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\(A, A^2 , A^3\) données \(\Rightarrow A^p\)
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