Soit \(A = \begin{pmatrix}1 &2 &3\\ 2 &3 &1\\ 3 &1 &2\end{pmatrix}\).

  1. Vérifier que \((A-6I)(A^2 -3I) = 0\).

  2. Soit \(n\in \mathbb{N}\) et \(P_n\) le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 tel que \(P(6) = 6^n\), \(P(\sqrt 3) = \sqrt 3^n\), et \(P(-\sqrt 3) = (-\sqrt 3)^n\). Montrer que \(A^n = P_n(A)\).

  3. Même question pour \(n \in \mathbb{Z}\).

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[ID: 4608] [Date de publication: 11 avril 2024 17:30] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Calcul de \(A^n\) par polynôme annulateur
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