1. Soit la matrice \(J=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & &0 \\ 1 & 0 & & & \vdots \\ 0 & 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Calculer les matrices \(J^2\) et \(J^n\) pour tout entier \(n\in \mathbb N\).

  2. Calculer les puissances de la matrice \(A= \begin{pmatrix} a & 0 & \dots & & 0 \\ b & a & & & \vdots\\ 0 & b & \ddots& & \vdots\\ \vdots & \ddots & b & a & 0\\ 0 &\dots & 0 & b & a \end{pmatrix}\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Les matrices de cette forme sont appelées matrices de Jordan.


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[ID: 1660] [Date de publication: 30 mars 2021 07:17] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Matrices de Jordan
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:17
  1. On a \(J^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & &0 \\ 0 & 0 & & & \vdots \\ 1 & 0 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \dots & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). On déduit donc \(J^2\) de \(J\) en baissant d’un cran la diagonale de \(1\) dans la matrice. On déduit \(J^3\) de \(J^2\) par le même procédé et ainsi de suite. On obtient alors \(J^{n-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & &0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 &0 & \ddots & 0 & 0\\ 1 & 0&\dots & 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(J^n=0\) et \(J^m=0\) pour tout \(m\geqslant n\).

  2. On remarque que \(A=a I_n+b J\). Comme \(I_n\) et \(J\) commutent, on peut appliquer la formule du binôme. On obtient pour tout \(m\in \mathbb{N}\) : \[\left(a I_n+b J\right)^m=\sum_{k=0}^m \dbinom{m}{k}a^{m-k}b^k J^k\] et \[A^m=\begin{pmatrix} a^m&0&\dots&&&\dots&0\\ \binom{m}{1}a^{m-1}b&\ddots&\ddots&&&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&&&&\\ \binom{m}{m}b^m&&\ddots&\ddots&&&\\ 0&\ddots&&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\dots&0&\binom{m}{m}b^m&\dots&\binom{m}{1}a^{m-1}b&a^m \end{pmatrix} \textrm{ si $m<n$}\] \[A^m=\begin{pmatrix} a^m&0&\dots&&&\dots&0\\ \binom{m}{1}a^{m-1}b&\ddots&\ddots&&&&\vdots\\ \vdots&\ddots&&&&&\\ \binom{m}{k}a^{m-k}b^k&&&&&&\\ &\ddots&&&&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&&\ddots&\ddots&0\\ \binom{m}{n}a^{m-n}b^n&\dots&&\binom{m}{k}a^{m-k}b^k&\dots&\binom{m}{1}a^{m-1} b&a^m \end{pmatrix}\textrm{ si $m\geqslant n$}\]


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