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Exercice 748
Soit la matrice \(H=((h_{ij})) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) avec \(h_{ij}=1\). Calculer \(H^k\).
En déduire les puissances de la matrice \(A=((a_{ij}))\) où \(a_{ij}=(1-\delta_{ij})\).
Montrer que la matrice \(A\) est inversible en calculant son rang.
Trouver l’inverse de la matrice \(A\) (on le cherchera sous la forme \(aI+bH\)).
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[ID: 1658] [Date de publication: 30 mars 2021 07:17] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 748
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 30 mars 2021 07:17
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 30 mars 2021 07:17
On montre par récurrence que \(H^k=n^{k-1}H\) pour \(k\geqslant 1\) et \(H^{0}=I\).
\(A=H-I\). En utilisant la formule du binôme, \[A^p=(-1)^pI+\dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^p \dbinom{p}{k}n^k(-1)^{p-k}\right)H = (-1)^pI+\dfrac{(n-1)^p}{n} H - \dfrac{(-1)^p}{n} .H\]
Par les opérations \(C_2 \leftarrow C_2-C_1, \dots, C_n \leftarrow C_n-C_1\), puis en ajoutant toutes les colonnes de la matrice obtenue à la première, \(A\) a même rang que la matrice triangulaire supérieure avec pour éléments \((n-1),-1,\dots,-1\) sur la diagonale. Par conséquent, pour \(n\geqslant 2\), le rang de \(A\) vaut \(n\) et donc \(A\) est inversible.
En calculant \[(aI+bH)(H-I)=-aI + (a+(n-1)b)H\] il suffit de prendre \(a=-1\) et \(b=\dfrac{1}{n-1}\) pour \(n\geqslant 1\). Par conséquent, \(A\) est inversible et \[A^{-1}=\dfrac{1}{n-1}H-I\]
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