Soient les matrices \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), \(B=\left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ 0 & a & b \\ b & 0 & a \end{array}\right)\). Calculer les puissances des matrices \(A\) et \(B\).


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[ID: 1654] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 882
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:17

On écrit \(A=I_3+J\) avec \(J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). On calcule \(J^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0&0 &0 \end{pmatrix}\) et \(J^3=0\). En appliquant le binôme, \(A^n=I_3+nJ +\dfrac{n(n-1)}{2}J^2\).

On écrit \(B=aI_3+bP\) avec \(P=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}\). Alors \(P^2=\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}\) et \(P^3=I_3\). En appliquant la formule du binôme, \(B^n=\alpha I_3 + \beta P +\gamma P^2\) avec \(\alpha=\sum_{k=0, k=3p}^n a^{n-k}b^k\dbinom{n}{k}\), \(\beta=\sum_{k=0, k=3p+1}^na^{n-k}b^k\dbinom{n}{k}\) et \(\gamma= \sum_{k=0,k=3p+2}^n a^{n-k}b^k\dbinom{n}{k}\).
Pour calculer ces trois sommes, on développe \((a+b)^n\), \((a+jb)^n\) et \((a+j^2b)^n\). On trouve ainsi \[\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} \alpha &+& \beta &+&\gamma &=& (a+b)^n \\ \alpha &+& \beta j&+&\gamma j^2&=& (a+jb)^n \\ \alpha &+& \beta j^2&+&\gamma j&=& (a+j^2b)^n \end{array}\right. .\] Soit \(V = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1&j&j^2 \\ 1&j^2&j \end{pmatrix}\), \(X = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma\end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} (a+b)^n \\ (a+jb)^n \\ (a+j^2b)^n\end{pmatrix}\). Posons aussi \(\overline V = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1&j^2&j \\ 1&j&j^2 \end{pmatrix}\). On a \(V\overline V = 3I_3\), donc \(X = \dfrac13 \overline V D\), soit \[\left\lbrace \begin{array}{ccc} \alpha &=& \dfrac13 \left( (a+b)^n +(a+jb)^n + (a+j^2b)^n \right) \\ \beta &=& \dfrac13 \left( (a+b)^n + j^2(a+jb)^n + j(a+j^2b)^n \right) \\ \gamma &=& \dfrac13 \left( (a+b)^n +(ja+jb)^n + j^2(a+j^2b)^n \right) \end{array}\right. .\] Autrement dit \(B^n = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{pmatrix}\)
\(= \dfrac13 \begin{pmatrix} (a+b)^n +(a+jb)^n + (a+j^2b)^n&(a+b)^n + j^2(a+jb)^n + j(a+j^2b)^n&(a+b)^n +(ja+jb)^n + j^2(a+j^2b)^n\\ (a+b)^n +(ja+jb)^n + j^2(a+j^2b)^n&(a+b)^n +(a+jb)^n + (a+j^2b)^n&(a+b)^n + j^2(a+jb)^n + j(a+j^2b)^n\\ (a+b)^n + j^2(a+jb)^n + j(a+j^2b)^n&(a+b)^n +(ja+jb)^n + j^2(a+j^2b)^n&(a+b)^n +(a+jb)^n + (a+j^2b)^n \end{pmatrix}\).


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