On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\] Calculer ses puissances \(A^n\) pour \(n \in \mathbb N\).


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[ID: 1652] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 569
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:16

On pose \(A = aI_2 + bJ\) avec \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). On vérifie que \(J^2 = I_2\). Comme \(I_2\) et \(J\) commutent, on peut appliquer la formule du binôme : \[A^n = \sum_{k=0}^n \binom n k b^k a^{n-k} J^k = \sum_{\substack{k=0\\k \textrm{ pair }}}^n \binom n k b^k a^{n-k} I_2 + \sum_{\substack{k=0\\k \textrm{ impair }}}^n \binom n k b^k a^{n-k} J = S I_2 + T J.\] Maintenant \((a-b)^n = \displaystyle\sum_{\substack{k=0\\k \textrm{ pair }}}^n \binom n k b^k a^{n-k} - \sum_{\substack{k=0\\k \textrm{ impair }}}^n \binom n k b^k a^{n-k} = S - T\). Comme \((a+b)^n = S + T\), on en déduit \(S = \dfrac12 \left[ (a+b)^n + (a-b)^n\right]\) et \(T = \dfrac12 \left[ (a+b)^n - (a-b)^n\right]\). Donc \[A^n = \begin{pmatrix} S & T \\ T & S \end{pmatrix} = \dfrac12 \begin{pmatrix} (a+b)^n + (a-b)^n & (a+b)^n - (a-b)^n \\ (a+b)^n - (a-b)^n & (a+b)^n + (a-b)^n \end{pmatrix}.\]


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