On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} -1 & a & a \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{\mathbb{R} })\] Calculer pour \(n \in \mathbb N\), \(A^n\).


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[ID: 1650] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 859
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:16

Décomposons la matrice sous la forme \(A = H - I\)\[H = \begin{pmatrix} 0 & a & a \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad H^2 = a \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \quad H^3 = 0\] Avec le binôme, on trouve finalement que \[A^n = (-1)^n \begin{pmatrix} 1 & -na & -na \\ -n & 1 + {\scriptstyle n(n-1)\over\scriptstyle 2}a & {\scriptstyle n(n-1)\over\scriptstyle 2} a \\ n & - {\scriptstyle n(n-1)\over\scriptstyle 2} a & 1 - {\scriptstyle n(n-1)\over\scriptstyle 2} a \end{pmatrix}\]


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