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Exercice 794
On considère la matrice \(J \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) remplie de \(1\) : \[J= \begin{pmatrix} 1 & \dots & 1 \\ \vdots & 1 & \vdots \\ 1 & \dots & 1 \end{pmatrix}\]
Calculer \(J^2\) puis pour \(k \in \mathbb N\), \(J^k\).
\(J\) est-elle inversible ?
On considère la matrice \[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\] Calculer les puissances successives de \(A\).
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[ID: 1648] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 794
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 30 mars 2021 07:16
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 30 mars 2021 07:16
\(J^2=nJ\) puis par récurrence, pour \(k\geqslant 1\), \(J^k = n^{k-1} J\).
Puisque \(J^2=nJ\), il vient que \(J(J-nI)=0\) et alors si \(J\) était inversible, en multipliant à gauche par \(J^{-1}\), on aurait \(J=nI\) ce qui est faux pour \(n\geqslant 2\).
Remarque : La matrice \(J\) est visiblement de rang 1.
Écrivons \(A=2I-J\) et en utilisant le binôme (\(I\) et \(J\) commutent), on trouve pour \(n\geqslant 1\) que \[A^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} 2^{n-k}(-1)^kJ^k = 2^nI + \Bigl(\sum_{k=1}^n \dbinom{n}{k}2^{n-k} (-1)^k3^{k-1} \Bigr)J\] Mais \(\sum_{k=1}^n \dbinom{n}{k}2^{n-k} (-1)^k3^{k-1} = \dfrac{1}{3} \left(\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}2^{n-k}(-3)^k - 2^n\right) = \dfrac{(-1)^n-2^n}{3}\). Et finalement, \[A^n = 2^nI+\dfrac{(-1)^n-2^n}{3} J .\]
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