On considère la matrice \(A=\left( \begin {array}{cc} 2&-1\\-2&3\end {array} \right)\)

  1. Montrer que le polynôme \(X^2-5X+4\) est un polynôme annulateur de \(A\).

  2. En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.

  3. Pour \(n\geqslant 2\), déterminer le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \(X^2-5X+4\).

  4. En déduire l’expression de \(A^n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).


Barre utilisateur

[ID: 1646] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 238
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:16
  1. Par un calcul direct.

  2. On déduit de la question précédente que : \(A\left(\dfrac 54I_2-\dfrac 14A\right)=I_2\). \(A\) est donc inversible d’inverse : \(\dfrac54I_2-\dfrac14A\).

  3. En utilisant le théorème de la division euclidienne, il existe des polynômes à coefficients réels \(Q\) et \(R\) tels que : \(X^n=Q\left(X^2-5X+4\right)+R\) et \(\deg R <2\). Le polynôme \(R\) est donc de la forme \(R=aX+b\). Remarquant que les racines de \(X^2-5X+4\) sont \(1\) et \(4\), on obtient le système : \(\begin{cases}a+b&=1\\4a+b&=4^n \end{cases}\) qui admet comme solution : \(a=\dfrac{1}{3}\left(4^n-1\right)\) et \(b=\dfrac{1}{3}\left(4-4^n\right)\).

  4. On en déduit que si \(n\geqslant 2\), \(A^n = Q\left(A\right)\left(A^2-5A+4I_3\right)+R\left(A\right)=R\left(A\right)=\boxed{\dfrac{1}{3}\left(4^n-1\right)A+\dfrac{1}{3}\left(4-4^n\right)I_2}\)


Documents à télécharger