Calculer \(A^n\) pour \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\) de deux manières différentes.


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[ID: 1644] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 478
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:16

Même déroulement que dans l’exercice précédent: on forme la matrice \(B=A-I_3\) et on montre qu’elle est nilpotente d’ordre \(3\). On applique ensuite la formule du binôme et on trouve : \(A^n= \left(\begin{array}{ccc} 1&-n&\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\\0&1&-n\\0&0&1 \end{array}\right)\). On peut aussi prouver ce résultat en effectuant une récurrence.


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