Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)\)

  1. Montrer que \(A-I_3\) est nilpotente d’ordre \(3\) (c’est-à-dire que \(\left(A-I_3\right)^2 \neq 0\) et que \(\left(A-I_3\right)^3 = 0\)

  2. En déduire, en utilisant la formule du binôme de Newton \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).


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[ID: 1642] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 427
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:16
  1. Par un calcul direct, on montre que \(B=A-I_3\) vérifie \(B^3=0\) et \(B^2\neq 0\).

  2. Utilisant la formule du binôme, ce qui est valide car \(I_3 \times B = B \times I_3\), on obtient, pour \(n \geqslant 3\)  : \[\begin{aligned} A^n&=&\left(B+I_3\right)^n\\ &=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B^k\\ &=&\binom{n}{0}B^0 + \binom{n}{1}B^1 + \binom{n}{2}B^2\\ &=& \left(\begin{array}{ccc} 1&2n&n\left(n-2\right) \\ 0&1&n\\ 0&0&1\end{array}\right) \end{aligned}\] Cette formule reste valable si \(n=0,1,2\).


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