1. Calculer les puissances de \(A = \left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0\end{array}\right)\).

  2. On pose : \(F_0 = 0\); \(F_1 = 1\); \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\) (suite de Fibonacci) .
    Démontrer que pour tous entiers naturels \(n\) et \(p\), \(F_{n+p} = F_{n+1}F_{p} + F_n F_{p-1}\).


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[ID: 1640] [Date de publication: 30 mars 2021 07:16] [Catégorie(s): Calcul des puissances d'une matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 256
Par emmanuel le 30 mars 2021 07:16
  1. Par récurrence, \(\forall n\in\mathbb N^*\; A^n = \left(\begin{array}{cc} F_{n+1}&F_{n} \\ F_{n}&F_{n-1}\end{array}\right)\).

  2. On calcule le coefficient de la \(1^{\textrm{ère}}\) ligne et \(2^{\textrm{ème}}\) colonne de \(A^{n+p} = A^nA^p\).


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