Barre utilisateur

[ID: 4633] [Date de publication: 11 avril 2024 17:36] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Matrice tridiagonale, ENS ULC 2015
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:36

1. Soit \(p\) le plus petit indice tel que \(v_p=\mathop{\min}\limits_{1\leq i\leq n}v_i\). Si \(p=1\) on obtient \(2v_1\geq v_2\geq v_1\) et donc \(v_1\geq 0\). De même si \(p=n\). On suppose que \(2\leq p\leq n-1\). On a alors \(2v_p\geq v_{p-1}+v_{p+1}\geq 2v_p\) avec égalité si et seulement si \(v_{p-1}=v_{p+1}=v_p\), ce qui est impossible d’après la définition de \(p\). Donc \(v_p > 0\).

2. Soit \(v\) tel que \(Av=0\). D’après la question précédente on sait que, pour tout \(i\), \(v_i\geq 0\). Soit \(p\) le plus petit indice tel que \(v_p=\mathop{\max}\limits_{1\leq i\leq n}v_i\). Si \(p=1\) alors \(0=2v_1-v_2\geq v_1\) et donc \(v_1=0\) puis \(v=0\). De même si \(p=n\). On suppose que \(2\leq p\leq n-1\). On a alors \(2v_p=v_{p-1}+v_{p+1}\), ce qui entraîne \(v_{p-1}=v_p\) et contredit la définition de \(p\). On en déduit que \(v=0\) et donc que \(A\) est inversible. Soit \(v_i\) la \(i\)-ème colonne de \(A^{-1}\). Tous les coefficients de \(Av_i\) sont positifs, donc les coefficients de \(v_i\) sont tous positifs.