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[ID: 4631] [Date de publication: 11 avril 2024 17:36] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

ENS MP 2002
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:36

Soit \(\varphi\) un tel morphisme. Alors pour toute matrice \(M\in GL_n(\mathbb{R})\) on a \(\dot{0} = p\varphi (M) = \varphi (M^p)\), donc \(\varphi\) s’annule sur toute matrice qui est une puissance \(p\)-ème. Notons \(P(i,j,\alpha )\) la matrice de l’opération élémentaire \(L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j\), qui est aussi la matrice de l’opération élémentaire \(C_j \leftarrow C_j + \alpha C_i\). Toute matrice \(M \in GL_n(\mathbb{R})\) peut être transformée, à l’aide de ces seules opérations élémentaires, en une matrice \(M' = \mathop{\rm diag}\nolimits(1,\dots,1,\det(M))\) par une adaptation de l’algorithme de Gauss. Comme \(P(i,j,\alpha ) = P(i,j,\alpha /p)^p\) et \(\det(M) = \pm (|\det(M)|^{1/p})^p\), on obtient : \(\varphi (M) = \dot{0}\) si \(\det(M) > 0\) et \(\varphi (M) = \varphi (\mathop{\rm diag}\nolimits(1,\dots,1,-1)) = x\) si \(\det(M) < 0\). Réciproquement, la fonction \(\varphi\) ainsi définie est effectivement un morphisme de groupe si et seulement si \(2x = \dot{0}\), soit \(x=\dot{0}\) pour \(p\) impair, et \(x\in \{ \dot{0},\dot q\}\) pour \(p=2q\).