Soit \(\mathcal D = \{ A=(a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}}) \text{ tq }\forall i,j\), \(a_{ij} \geq 0\) et \(\forall i\), \(\sum_{j=1}^n a_{ij} = 1\}\).

  1. Montrer que \(\mathcal D\) est stable par multiplication.

  2. Déterminer les matrices \(A \in \mathcal D\) inversibles telles que \(A^{-1} \in \mathcal D\).

Barre utilisateur

[ID: 4620] [Date de publication: 11 avril 2024 17:36] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Matrices stochastiques
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:36

  1. Si \(A,B \in \mathcal D\) et \(AB = I\), alors pour \(i \neq j\) : \(\forall k\), \(a_{ik}b_{kj} = 0\).

    Soit \(a_{i1} \neq 0\) : alors \(b_{1j} = 0\) pour tout \(j \neq i\), donc \(a_{i1} = b_{1i} = 1\).

    Donc chaque colonne de \(A\) contient \(n-1\) fois \(0\) et une fois \(1\). \(A\) étant inversible, c’est une matrice de permutation.

Documents à télécharger

Matrices stochastiques
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice