1. Soit \(n\in\mathbb N\), Démontrer qu’il existe un unique polynôme \(U_n(X)\in\mathbb Z[X]\), de degré \(n\), vérifiant \[\forall \vartheta \in \mathbb R,\; \sin \vartheta\,. U_n(\cos \vartheta) = \sin {(n+1)\vartheta}.\] Démontrer que \[U_{n+1}(X) + U_{n-1}(X) = 2XU_n(X)\qquad\qquad(*)\] Démontrer que \[\forall n\geqslant1,\;\forall p\geqslant1,\; U_{n+p} = U_p U_n - U_{p-1} U_{n-1}\qquad\qquad(**).\]

  2. Soit \[B_n(x) = \begin{pmatrix} 2x & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2x & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & 1 & 2x & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2x \\ \end{pmatrix}.\] Démontrer que pour \(x\neq \cos\dfrac{k\pi}{n+1}, B_n(x)\) est inversible et son inverse est la matrice symétrique définie par \[b'_{i,j} = (-1)^{i+j} \dfrac{U_{i-1}(x) U_{n-j}(x)}{U_n(x)} \textrm { pour } i\leqslant j\] et \[b'_{i,j} = (-1)^{i+j} \dfrac{U_{j-1}(x) U_{n-i}(x)}{U_n(x)} \textrm { pour } i\geqslant j.\]


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[ID: 1613] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 725
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39
  1. Existence : On l’établit par récurrence. On peut prendre \(U_0(X) = 1, \quad U_1(X) = 2X\),
    et puisque \(\sin {(n+2)\vartheta} + \sin {n\vartheta} = 2 \cos\vartheta\sin {(n+1)\vartheta}\) on a nécessairement \[\sin \vartheta\, U_{n+1}( \cos\vartheta) + \sin \vartheta\, U_{n-1}( \cos\vartheta) = 2 \cos\vartheta\sin\vartheta \,U_n(\cos\vartheta).\] Donc on choisit \(U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)\) sur \([-1;1]\). On en déduit que les \(U_n\) sont des fonctions polynômes, appelés polynômes de Tchebychev (de deuxième espèce). Les polynômes \(U_n(X)\) ainsi construits conviennent et appartiennent à \(\mathbb Z[X]\).

    Unicité : La différence de deux tels polynômes s’annulerait sur \([-1;1]\) ce qui donne l’unicité.
    On a bien entendu \[U_{n+1}(X) + U_{n-1}(X) = 2XU_n(X).\qquad\qquad(*)\] \(U_n\) est de degré \(n\) par une récurrence immédiate.
    Les \(\xi_k = \cos \left( \dfrac{k\pi}{n+1} \right), 1 \leqslant k \leqslant n\) sont les \(n\) racines distinctes de \(U_n\).

    Enfin, en utilisant trois fois \(\sin a\sin b = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \left(\cos(a-b) - cos(a+b)\right)\), on a d’une part : \[\sin^2\vartheta U_{n+p}(\cos\vartheta) = \sin\vartheta\sin(n+p+1)\vartheta = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\cos(n+p)\vartheta - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\cos(n+p+2)\vartheta,\] et d’autre part : \[\begin{aligned} \sin^2\vartheta U_{p}(\cos\vartheta)U_{n}(\cos\vartheta)-\sin^2\vartheta U_{p-1}(\cos\vartheta)U_{n-1}(\cos\vartheta) &= \sin(p+1)\vartheta \sin(n+1)\vartheta - \sin p\vartheta \sin n\vartheta \\ &= \dfrac12\cos(p-n)\vartheta - \dfrac12\cos(p+n+2)\vartheta \\ & \qquad - \dfrac12\cos(p-n)\vartheta + \dfrac12\cos(p+n)\vartheta \\ &= \dfrac12\cos(p+n)\vartheta - \dfrac12\cos(p-n)\vartheta\end{aligned}\] On a bien établi (**)

  2. Soit \(1\leqslant i<j\leqslant n\) (en posant \(U_{-1}(x) = 0\) dans le cas où \(j=n\)) \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n b'_{i,k}b_{k,j} &= b'_{i, j-1} b_{j-1, j} + b'_{i, j} b_{j, j} + b'_{i, j+1} b_{j+1, j} = b'_{i, j-1} b_{j-1, j} + 2xb'_{i, j} + b'_{i, j+1} \\ & = \dfrac{(-1)^{i+j-1}U_{i-1}U_{n-j+1} + (-1)^{i+j} 2x U_{i-1}U_{n-j} + (-1)^{i+j+1}U_{i-1}U_{n-j-1} }{U_n(x)}\\ &= (-1)^{i+j-1}\dfrac{U_{i-1}\left( U_{n-j+1} - 2x U_{n-j} + U_{n-j-1}\right) }{U_n(x)}\\ & = 0.\end{aligned}\] d’après \((*)\) où l’on remplace \(n\) par \(n-j\).

    Pour \(i=j\) (en posant \(U_{-1}(x) = 0\) dans le cas où \(j=n\) et donc \(b'_{n, n+1} = 0\)) \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n b'_{i,k}b_{k,i} &= b'_{i, i-1} b_{i-1, i} + b'_{i, i} b_{i, i} + b'_{i, i+1} b_{i+1, i} = b'_{i, i-1} b_{i-1, i} + 2xb'_{i, i} + b'_{i, i+1} \\ &= -\dfrac{U_{i-2}U_{n-i} + 2x U_{i-1}U_{n-i} - U_{i-1}U_{n-i-1} }{U_n(x)}\\ &= \dfrac{1 }{U_n(x)}\left( -U_{i-2}U_{n-i} + U_{i-1}\left( 2x U_{n-i} + U_{n-i-1}\right)\right) \\ &= \dfrac{1 }{U_n(x)}\left( -U_{i-2}U_{n-i} + U_{i-1}U_{n-i+1}\right) = \dfrac{1 }{U_n(x)} U_{n-i+1+i-1} \textrm{ d'après } (**)\\ & = \dfrac{1 }{U_n(x)} U_n = 1.\end{aligned}\]


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