On considère une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C} })\), \(A = (a_{i,j})_{1\leqslant i, j \leqslant n}\) à diagonale dominante : \[\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2,\quad \lvert a_{ii} \rvert > \sum_{j \neq i } \lvert a_{ij} \rvert\] Montrer que la matrice \(A\) est inversible. Cette propriété est connue sous le nom de lemme d’Hadamard.


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[ID: 1611] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Lemme d’Hadamard
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39

Supposons que \(A\) ne soit pas inversible. Alors il existe \(X=\left(x_i\right)\in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{\mathbb{C} })\) non nul tel que \(AX=0\). Comme \(X\) est non nul, on sait que \(\alpha=\max_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket} \left|x_i\right| \neq 0\). De plus, on a encore \(A\left(X/\alpha\right)=0\). On peut donc supposer que \(\max_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket} \left|x_i\right| =1\). On note \(i_0\) l’indice \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\) tel que \(\left|x_i\right|=1\) . L’égalité \(AX=0\) amène pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j=0\) ou encore \(-a_{ii}x_i =\sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij} x_j\). En particulier, pour \(i=i_0\), cette égalité devient en passant à la valeur absolue et en utilisant l’inégalité triangulaire : \[\left|a_{i_0i_0}\right|=\left|a_{i_0i_0} x_{i_0}\right|= \left|\sum_{j=1,j\neq i_0}^n a_{i_0j}x_j\right|\leqslant\sum_{j=1,j\neq i_0}^n \left|a_{i_0j}\right|\left|x_j\right|\leqslant \sum_{j=1,j\neq i_0}^n \left|a_{i_0j}\right|\] car \(\max_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket} \left|x_i\right| =1\). Mais comme la matrice est à diagonale dominante, on a aussi \(\lvert a_{i_0i_0} \rvert > \sum_{j \neq i_0 } \lvert a_{i_0j} \rvert\) et on aboutit à une contradiction. Par conséquent \(A\) est inversible.


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