Inverser la matrice suivante :

\[A =\begin{pmatrix} 1&6&5&4&3&2\\ 2&1&6&5&4&3\\ 3&2&1&6&5&4\\ 4&3&2&1&6&5\\ 5&4&3&2&1&6\\ 6&5&4&3&2&1 \end{pmatrix}\]


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[ID: 1609] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 187
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39

Avec la forme de la matrice \(A\), on peut faire le pari que la matrice inverse peut s’écrire, si elle existe, \[A^{-1} =\begin{pmatrix} x&y&z&t&u&v\\ v&x&y&z&t&u\\ u&v&x&y&z&t\\ t&u&v&x&y&z\\ z&t&u&v&x&y\\ y&z&t&u&v&x \end{pmatrix}.\] L’égalité \(AA^{-1}=I_6\) se traduit, pour la première colonne de \(AA^{-1}\), par \[\left\lbrace \begin{array}{rrrrrrrr} x&+6v&+5u&+4t&+3z&+2y&=&1\\ 2x&+v&+6u&+5t&+4z&+3y&=&0\\ 3x&+2v&+u&+6t&+5z&+4y&=&0\\ 4x&+3v&+2u&+t&+6z&+5y&=&0\\ 5x&+4v&+3u&+2t&+z&+6y&=&0\\ 6x&+5v&+4u&+3t&+2z&+y&=&0 \end{array}\right.\] Il n’est pas difficile de voir que la (les ?) solutions de ce système fournit une solution pour les autres colonnes.
Maintenant, en additionnant les lignes, en posant \(S = x+v+u+t+z+y\), on obtient \(21S = 1\).
Ensuite on multiplie la \(2^{\textrm{ème}}\) la \(4^{\textrm{ème}}\) et la \(6^{\textrm{ème}}\) ligne par \(-1\) et on additionne les six lignes pour obtenir \(-3x + 3v - 3u + 3t - 3z + 3y = 1\) soit \(3S_1 - 3S_2 = -1\) en posant \(S_1 = x + u + z\) et \(S_2 = v + t + y\). Ce qui donne \(S_1 = -\dfrac17\) et \(S_2 = \dfrac{4}{21}\).
Si on continue dans la même idée, pourquoi ne pas multiplier la \(2^{\textrm{ème}}\) et la \(5^{\textrm{ème}}\) ligne par \(j\) et la \(3^{\textrm{ème}}\) et la \(6^{\textrm{ème}}\) ligne par \(j^2\) avant d’additionner le tout : \((5 + 7j + 9j^2)(x+t) + (9+5j+7j^2)(v+z) + (7+9j+5j^2)(u+y) = 1\). En utilisant \(7(1+j+j^2) = 0\), on a \((-2 + 2j^2)(x+t) + (2-2j)(v+z) + (2j-2j^2)(u+y) = 1\). En factorisant par \((2-2j)\), on a \(j^2(x+t) + (v+z) + j(u+y) = \dfrac{1}{2(1-j)} = \dfrac{1-j^2}{2(1-j)(1-j^2)} = \dfrac{1}{6}(1-j^2)\). En conjuguant, on obtient \(j(x+t) + (v+z) + j^2(u+y) = \dfrac{1}{6}(1-j)\). En posant \(T_1 = x+t,\;T_2 = v+z,\;T_3 = u+y\) on a
\(\left\lbrace \begin{array}{rrrrrcc} T_1 &+& T_2 &+& T_3 &=& \dfrac{1}{21} \\ j^2T_1 &+& T_2 &+& jT_3 &=& \dfrac{1}{6}(1-j^2) \\ jT_1 &+& T_2 &+& j^2T_3 &=& \dfrac{1}{6}(1-j) \end{array}\right.\). Bon, on sent qu’il y a de l’idée mais il n’y a rien de décisif. Il faut aller encore plus loin :
Soit \(\zeta = \exp \left( {\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 6}\right)\). On multiplie la \(k^{\textrm{ème}}\) ligne par \(\zeta^k\) et on additionne le tout :
\(xS+\zeta vS + \zeta^2uS + \zeta^3tS + \zeta^4zS + \zeta^5yS = 1\) en posant \(S = 1 + 2\zeta + 3\zeta^2 + 4\zeta^3 + 5\zeta^4 + 6\zeta^5\). Soit \(P(X) = X\dfrac{X^6-1}{X-1}\), on a \(S = P'(\zeta)\). Or \(P'(X) = \dfrac{X^6-1}{X-1} + X \dfrac{6X^5(X-1)-(X^6-1)}{(X-1)^2}\), d’où \(S = \dfrac{6}{\zeta-1}\).
On obtient ainsi en faisant jouer le rôle de \(\zeta\) par \(\zeta^2, \zeta^3,\ldots\) \[\left\lbrace \begin{array}{rrrrrrrrr} x&+v&+u&+t&+z&+y&=&\dfrac{1-1}{6}&+\dfrac{1}{21}\\ x&+\zeta v&+\zeta^2u&+\zeta^3t&+\zeta^4z&+\zeta^5y&=&\dfrac{\zeta-1}{6}&\\ x&+\zeta^2 v&+\zeta^4u&+\zeta^6t&+\zeta^2z&+\zeta^4y&=&\dfrac{\zeta^2-1}{6}&\\ x&+\zeta^3 v&+\zeta^6u&+\zeta^9&+\zeta^{12}z&+\zeta^{15}y&=&\dfrac{\zeta^3-1}{6}&\\ x&+\zeta^4 v&+\zeta^8u&+\zeta^{12}t&+\zeta^{16}z&+\zeta^{20}y&=&\dfrac{\zeta^4-1}{6}&\\ x&+\zeta^5 v&+\zeta^{10}u&+\zeta^{15}t&+\zeta^{20}z&+\zeta^{25}y&=&\dfrac{\zeta^5-1}{6}& \end{array}\right.\] On trouve \(x\) en additionnant les lignes, en utilisant \(1 + \zeta^{k} + \zeta^{2k} + \zeta^{3k} + + \zeta^{4k} + + \zeta^{5k} = 0\) pour \(1\leqslant k \leqslant 5\) : \(6x = \dfrac{1}{21} - 1\) d’où \(x = -\dfrac{10}{63}\). Pour trouver \(v\), on multiplie la \(k\)-ième ligne par \(\zeta^{5k}\) et on additionne le tout : \(6v = 1 + \dfrac{1}{21}\) d’où \(v = \dfrac{11}{63}\).
Pour trouver \(t\), on multiplie la \(k\)-ième ligne par \(\zeta^{4k}\) et on additionne le tout : \(6u = \dfrac{1}{21}\) d’où \(t = \dfrac{1}{126}\). Le même calcul donne le même résultat pour les autres inconnues : \(t = z = y = \dfrac{1}{126}\). \[A^{-1} = \dfrac{1}{126}\begin{pmatrix} -20 & 1 & 1 & 1 & 1 & 22 \\ 22 & -20 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 22 & -20 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 22 & -20 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 22 & -20 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 22 & -20 \end{pmatrix}.\]


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