On considère la matrice \(M = ((m_{i,j}))_{1\leqslant i, j \leqslant n} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) avec \(m_{ij} = \begin{cases} \dfrac{i}{j} & \textrm{ si } i \neq j \\ 0 & \textrm{ si } i = j \end{cases}\). Calculer \(M^2\) et \(M^{-1}\).


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[ID: 1607] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 660
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39

Faire d’abord le calcul pour \(n = 3\). En notant \(M^2 = ((a_{i,j}))\), on tire que \(a_{i,j} = \sum_{k=1}^n m_{i,k}m_{k,j} = \sum_{k\not\in \{i, j\}} \dfrac{i}{j}\) \[a_{ij} = \begin{cases} (n-2)\dfrac{i}{j} & \textrm{ si } i \neq j \\ (n-1) & \textrm{ si } i = j \end{cases}\] On remarque que \(M^2 = (n-2)M + (n-1)I_n\) d’où l’on tire que \(M\) est inversible et que \(M^{-1} = \dfrac{1}{n-1}.(M - (n-2) I_n)\).


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