Soit une matrice \(U\) triangulaire supérieure telle que tous les éléments de la diagonale soient non-nuls. Montrer que la matrice \(U\) est inversible. (On montrera que \(UX=0\Longrightarrow X=0\) )


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[ID: 1605] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 605
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39

Soit une matrice colonne \(X\in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) telle que \(UX=0\). On obtient un système d’équations triangulaire sur les coordonnées de \(X\) qui se résout de proche en proche en partant de la dernière équation et on obtient finalement que \(X=0\). Par conséquent, \(U\) est inversible.

Une autre façon de voir est de considérer que la matrice est celle d’un endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) dans la base \((X^k)\). L’hypothèse \(U\) triangulaire supérieure avec tous les éléments de la diagonale non-nuls  se traduit par : \(\forall k\in \{0,\ldots,n-1 \},\deg(u(X^k)) = k\). Donc \(u\) transforme la base \((X^k)\) en une famille échelonnée en degrés, donc une base de \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\). Donc \(u\) est bijectif, donc \(U\) est inversible.


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