Soit \(A\) une matrice carrée nilpotente de taille \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que la matrice \((I_n-A)\) est inversible.


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[ID: 1603] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 135
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39

On suppose que \(A\) est nilpotente d’ordre \(p\in\mathbb{N}^*\). On a donc \(A^k=0\) pour tout \(k\geqslant p\) et \(A^k\neq 0\) pour tout \(k<p\). Mais \[\left(I_n-A\right)\left(I_n+A+A^2+\dots+A^{p-1}\right)=\left(I_n-A\right)+\left(A-A^2\right)+\dots+\left(A^{p-1} -A^p \right) = I_n\] par télescopage et car \(A^p=0\). Donc \(I_n-A\) est inversible d’inverse \(I_n+A+A^2+\dots+A^{p-1}\).


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