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Exercice 1032
Soit \(A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) telle que \(I_n+A\) est inversible. Soit \(B=\left(I_n-A\right)\left(I_n+A\right)^{-1}\).
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[ID: 1601] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1032
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:39
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:39
Un argument plus savant : \(\left(I_n+A\right)^{-1}\) est un polynôme en \(A\), et comme tel commute avec n’importe quel polynôme en \(A\), par exemple \(I_n-A\). En effet, soit \(B=I_n+A\). La famille \(I_n, B, B^2, \ldots, B^{n^2}\) est liée. On peut écrire \(\lambda_0I_n + \lambda_1B + \ldots \lambda_kB^k = 0\) où \(k\) désigne le plus grand indice \(\leqslant n^2\) pour lequel \(\lambda_k \neq0\). On a \(\lambda_0\neq0\), sinon on aurait \(B(\lambda_1I_n + \ldots \lambda_kB^{k-1} = 0\) et donc \(B\) ne serait pas inversible. Donc on peut écrire \[I_n = B\left( -\dfrac{\lambda_1}{\lambda_0}I_n - \dfrac{\lambda_2}{\lambda_0}B - \ldots -\dfrac{\lambda_k}{\lambda_0}B^{k-1} \right).\] Donc \(B^{-1} = -\dfrac{\lambda_1}{\lambda_0}I_n - \dfrac{\lambda_2}{\lambda_0}B - \ldots -\dfrac{\lambda_k}{\lambda_0}B^{k-1}\) est un polynôme en \(B\) donc un polynôme en \(A = B-I_n\).
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