Soit \(A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) telle que \(I_n+A\) est inversible. Soit \(B=\left(I_n-A\right)\left(I_n+A\right)^{-1}\).

  1. Montrer que \(B=\left(I_n+A\right)^{-1}\left(I_n-A\right)\).

  2. Montrer que \(I_n+B\) est inversible et exprimer \(A\) en fonction de \(B\).


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[ID: 1601] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1032
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39
  1. On a \(\left(I_n+A\right)\left(I_n-A\right) = \left(I_n-A\right)\left(I_n+A\right)\), donc \(I_n-A = \left(I_n+A\right)^{-1}\left(I_n-A\right)\left(I_n-A\right)\) donc \(B = \left(I_n-A\right) \left(I_n+A\right)^{-1}= \left(I_n+A\right)^{-1}\left(I_n-A\right)\), ce qu’il fallait vérifier.
    Un argument plus savant : \(\left(I_n+A\right)^{-1}\) est un polynôme en \(A\), et comme tel commute avec n’importe quel polynôme en \(A\), par exemple \(I_n-A\). En effet, soit \(B=I_n+A\). La famille \(I_n, B, B^2, \ldots, B^{n^2}\) est liée. On peut écrire \(\lambda_0I_n + \lambda_1B + \ldots \lambda_kB^k = 0\)\(k\) désigne le plus grand indice \(\leqslant n^2\) pour lequel \(\lambda_k \neq0\). On a \(\lambda_0\neq0\), sinon on aurait \(B(\lambda_1I_n + \ldots \lambda_kB^{k-1} = 0\) et donc \(B\) ne serait pas inversible. Donc on peut écrire \[I_n = B\left( -\dfrac{\lambda_1}{\lambda_0}I_n - \dfrac{\lambda_2}{\lambda_0}B - \ldots -\dfrac{\lambda_k}{\lambda_0}B^{k-1} \right).\] Donc \(B^{-1} = -\dfrac{\lambda_1}{\lambda_0}I_n - \dfrac{\lambda_2}{\lambda_0}B - \ldots -\dfrac{\lambda_k}{\lambda_0}B^{k-1}\) est un polynôme en \(B\) donc un polynôme en \(A = B-I_n\).

  2. \(B = \left(2I_n -I_n-A\right)\left(I_n+A\right)^{-1} = 2\left(I_n+A\right)^{-1} - \left(I_n+A\right)\left(I_n+A\right)^{-1} = 2\left(I_n+A\right)^{-1} - I_n\). D’où \(I_n+B = 2\left(I_n+A\right)^{-1}\), ce qui montre bien que \(I_n+B\) est inversible. De plus \(\left(I_n+B\right)^{-1} = \dfrac12 \left(I_n+A\right)\), d’où \(A = 2\left(I_n+B\right)^{-1} - I_n\).


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