Déterminer l’inverse de la matrice carrée \(A= \begin{pmatrix} 1 & & &\mathbb{O}\\ a & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ \mathbb{O}& & a &1 \end{pmatrix}\)


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[ID: 1599] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 607
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39

Soit \(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) une base de \(\mathbb{K}^n\) et \(f=\left(f_1,\dots,f_n\right)\) la famille de vecteurs de \(\mathbb{K}^n\) admettant \(A\) comme matrice dans la base \(e\). On a donc :\[f_1=e_1+a e_2,\, f_2=e_2+a e_3,\, \dots,\, f_{n-2}=e_{n-2}+a e_{n-1},\, f_{n-1}=e_{n-1}+ a e_n,\, f_n=e_n .\] On en déduit que : \[\begin{aligned} e_n&=&f_n\\ e_{n-1}&=&f_{n-1}-a f_n\\ e_{n-2}&=&f_{n-2}-a f_{n-1}+a^2 f_n\\ \vdots &=& \vdots\\ e_2&=&f_2-af_3+a^2 f_4-a^3 f_5+\dots+\left(-1\right)^{n-2} a^{n-2}f_n\\ e_1&=&f_1-af_2+a^2 f_3-a^3 f_4+\dots+\left(-1\right)^{n-1}a^{n-1}f_n\\\end{aligned}\] donc \(f\) est une base de \(\mathbb{K}^n\), \(A\) est inversible et \[A^{-1}=\textrm{ Mat}_{f}\left(e\right)=\begin{pmatrix} 1&0&\dots&\dots&0\\ -a&1&\vdots&\vdots&\vdots\\ a^2&-a&\ddots&&\\ -a^3&a^2&&\ddots&\\ \vdots &\vdots&&&\vdots\\ (-1)^{n-2}a^{n-2} &(-1)^{n-3}a^{n-3}&\dots&1&0\\ (-1)^{n-1}a^{n-1} &(-1)^{n-2}a^{n-2}&\dots&-a&1 \end{pmatrix}\]


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