Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) antisymétrique. On pose \(M=I+A\).

  1. Soit une matrice colonne \(X\in\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{\mathbb{R} })\). Calculer la matrice \({X}^{\mathrm{T}}AX\)

  2. En déduire que la matrice \(M\) est inversible.


Barre utilisateur

[ID: 1597] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 84
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39
  1. Si \(A=\left(a_{ij}\right)\) alors \({X}^{\mathrm{T}}AX=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} xi x_j\). Comme \(A\) est antisymétrique, pour tout \(i\neq j\) \(a_{ji} xi x_j=-a_{ij} xi x_j\) et \(a_{ii}=0\). Alors \(\boxed{{X}^{\mathrm{T}}AX=0}\).

  2. Soit \(X\in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{\mathbb{R} })\). Alors \[MX=0 \Rightarrow {X}^{\mathrm{T}} MX=0 \Rightarrow {X}^{\mathrm{T}} \left(I+A\right)X=0 \Rightarrow {X}^{\mathrm{T}} X+ {X}^{\mathrm{T}} AX =0 \Rightarrow {X}^{\mathrm{T}} X=0\] en vertu de la première question. Mais si \(X=\left(x_i\right)\), \({X}^{\mathrm{T}} X=\sum_{i=1}^n {x_i^2}\) et \({X}^{\mathrm{T}} X=0\) implique que \(\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(x_i=0\) et que \(X=0\). On en déduit que \(M\) est inversible.


Documents à télécharger