On considère la matrice \(A\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{C}\right)\) donnée par \(A=\left(\begin{array}{cc} 1&2i \\ -i&1 \end{array}\right)\).

  1. Montrer que \(A^2-2A-I_2=0\). On dit que \(X^2-2X-1\) est un polynôme annulateur de \(A\).

  2. En déduire que \(A\) est inversible et calculer son inverse.

  3. Retrouver ce résultat par un calcul direct.


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[ID: 1591] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 317
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39
  1. On montre par un calcul direct que \(A^2-2A-I_2=0\).

  2. L’égalité précédente amène : \(A\left(A-2I_2\right)=I_2\). \(A\) est donc inversible et sa matrice inverse est : \(\left( \begin {array}{cc} -1&2\,i\\-i&-1 \end {array} \right)\)

  3. On retrouve ce résultat en utilisant la comatrice ou en passant par un système.


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