Inverser \[A=\left(\begin{array}{ccc} -3&1&0\\ 2&0&1\\ 1&2&-1 \end{array} \right)\]

  1. en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.

  2. en utilisant la comatrice.


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[ID: 1587] [Date de publication: 29 mars 2021 18:39] [Catégorie(s): Inversion de matrice ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 327
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:39
  1. On effectue les mêmes opérations sur les lignes de \(A\) et de \(I_3\).
    \[\begin{array}{rrrcccrrr} -3 & 1 & 0 & & & & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & & & & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & & & & 0 & 0 & 1\\ &&&&&&&&\\ -3 & 1 & 0 & & & & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & \qquad L_2&\leftarrow&3L_2+2L_1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & -3 & \qquad L_3&\leftarrow&3L_3+L_1 & 1 & 0 & 3\\ &&&&&&&&\\ -6 & 0 & -3 & \qquad L_1&\leftarrow&2L_1-L_2 & 0& -3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & & & & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -27 & \qquad L_3&\leftarrow&2L_3-7L_2 & -12 & -21 & 6\\ &&&&&&&&\\ -54 & 0 & 0 & \qquad L_1&\leftarrow&9L_1-L_3 & 12 & -6 & -6 \\ 0 & 18 & 0 & \qquad L_2&\leftarrow&9L_2+L_3 & 6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & -27 & & & & -12 & -21 & 6\\ &&&&&&&&\\ 9 & 0 & 0 & \qquad L_1&\leftarrow&L_1/(-6) & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 9 & 0 & \qquad L_2&\leftarrow&L_2/2 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 9 & \qquad L_3&\leftarrow&L_3/(-3) & 4 & 7 & -2\\ \end{array}\]

    Chaque opération sur les lignes est la multiplication à gauche par une matrice inversible. Donc \(A\) est inversible et
    \(A^{-1} = \dfrac19 \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 4 & 7 & -2 \end{pmatrix}\).

  2. On calcule \(\mathop{\rm det}(A)=9\) et \(\mathop{\mathrm{com}}(A)=\begin{pmatrix} -2&3&4\\1&3&7\\1&3&-2 \end{pmatrix}\) donc \(A^{-1}=\dfrac{{\mathop{\mathrm{com}}(A)}^{\mathrm{T}}}{\mathop{\rm det}(A)}=\dfrac19 \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 4 & 7 & -2 \end{pmatrix}\).


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