Á quelle condition sur le réel \(a\) la famille \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) : \[{e_1} = \left(a,1,1\right)\quad {e_2}=\left(1,a,1\right)\quad {e_3}=\left(1,1,a\right)\] forme-t-elle une base de \(\mathbb{R}^3\)?


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[ID: 1585] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 600
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

La famille \(e\) forme une base de \(\mathbb{R}^3\) si et seulement si \(\left|\begin{array}{ccc} a&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a \end{array} \right|\neq 0\). Ce déterminant vaut : \(\left(a-1\right)^2 \left(a+2\right)\). La famille \(e\) est donc libre si et seulement si \(a\neq 1\) et \(a\neq -2\).


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