Montrer que \[\Delta=\left| \begin{array}{ccc} \cos\left(a-b\right)&\cos\left(b-c\right)&\cos\left(c-a\right)\\ \cos\left(a+b\right)&\cos\left(b+c\right)&\cos\left(c+a\right) \\ \sin\left(a+b\right)&\sin\left(b+c\right)&\sin\left(c+a\right) \end{array} \right|=-2\sin\left(a-b\right)\sin\left(b-c\right)\sin\left(c-a\right)\]


Barre utilisateur

[ID: 1581] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 70
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

On développe suivant la première ligne et on reconnaît les formules d’addition : \[\begin{aligned} \begin{split} \Delta= \cos\left(a-b\right)\left[\cos\left(b+c\right)\sin\left(c+a\right)-\cos\left(c+a\right) \sin\left(b+c\right)\right] - \cos\left(b-c\right) \left[\cos\left(a+b\right)\sin\left(c+a\right)-\cos\left(c+a\right)\sin\left(a+b\right)\right] +\\ \cos\left(c-a\right)\left[\cos\left(a+b\right)\sin\left(b+c\right)-\cos\left(b+c\right)\sin\left(a+b\right)\right] =\\ \cos\left(a-b\right) \sin \left(a-b\right) + \cos\left(b-c\right) \sin\left(b-c\right) + \cos\left(c-a\right) \sin\left(c-a\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(\sin 2\left(a-b\right)+\sin 2\left(b-c\right)+\sin 2\left(c-a\right)\right) \end{split} \end{aligned}\] puis on utilise les deux formules \(\sin p+\sin q=2\sin{\scriptstyle p+q\over\scriptstyle 2}\cos{\scriptstyle p-q\over\scriptstyle 2}\) et \(\cos p-\cos q=-2\sin{\scriptstyle p+q\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle p-q\over\scriptstyle 2}\) : \[\begin{aligned} \begin{split} \Delta={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(2\sin\left(a-c\right)\cos\left(a+c-2b\right)+\sin 2\left(c-a\right)\right) \\={\sin\left(a-c\right)\cos\left(a+c-2b\right)+\sin\left(c-a\right)\cos\left(c-a\right)} =\sin\left(a-c\right)\left(\cos\left(a+c-2b\right)-\cos\left(c-a\right)\right)\\ =-2\sin\left(a-b\right)\sin\left(b-c\right)\sin\left(c-a\right) \end{split} \end{aligned}\]


Documents à télécharger