Soit \(\left(a,b,c\right)\in \mathbb{R}^3\). Considérons les polynômes \(P_a=\left(X-a\right)^2, P_b=\left(X-b\right)^2,P_c=\left(X-c\right)^2\). Déterminer pour quelles valeurs de \(\left(a,b,c\right)\) la famille \(\mathscr P=\left(P_a,P_b,P_c\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\)?


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[ID: 1579] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 19
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

La matrice de la famille \(\mathscr P\) dans la base canonique \(\left(1,X,X^2\right)\) de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc} a^2&b^2&c^2 \\ -2a&-2b&-2c\\ 1&1&1 \end{array} \right)\). Utilisant les déterminants de Vandermonde, on trouve \(\mathop{\rm det} M=-2\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\). La famille \(\mathscr P\) forme une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) si et seulement si les scalaires \(a\), \(b\) et \(c\) sont deux à deux distincts.


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