Les nombres \(119\), \(153\) et \(289\) sont tous divisibles par \(17\). Montrer, sans le développer que le déterminant \(\left| \begin{matrix} 1&1&9\\1&5&3\\2&8&9 \end{matrix} \right|\) est divisible par 17.


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[ID: 1577] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 274
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36

Notons \(\Delta\) ce déterminant. On a : \(1000\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 100&10&9\\100&50&3\\200&80&9 \end{array} \right|\xlongequal{C_1\rightarrow C_1+C_2+C_3 } \left|\begin{array}{ccc} 119&10&9\\153&50&3\\289&80&9 \end{array}\right| = 17\left|\begin{array}{ccc} a&10&9\\b&50&3\\c&80&9 \end{array}\right|\)\(a\), \(b\) et \(c\) désignent respectivement le quotient de \(119\), \(153\) et \(289\) par \(17\). On obtient  :\(\Delta = 17m\) avec \(m=\left|\begin{array}{ccc} a&10&9\\b&50&3\\c&80&9 \end{array}\right|\) qui est un entier. Comme \(17\) est premier avec \(1000\), appliquant le lemme de Gauss, \(17\) divise \(\Delta\).


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