Lecture zen
**
où \(a,b,c\) sont trois réels.
Exercice 98
Calculer, sous forme factorisée :
(appelé déterminant de Vandermonde).
Barre utilisateur
[ID: 1573] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 98
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:36
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 29 mars 2021 18:36
\(\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } \left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 2b&-b-c-a&0\\ 2c&0&-c-a-b \end{array}\right| =\boxed{\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\left(1+a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } \left(1+a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b&1&0\\ c&0&1 \end{array}\right| =\boxed{{1+a+b+c}}\)
\(\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&b&c\\ 1&a&b\\ 1&c&a \end{array}\right|\xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array} } \left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&b&c\\ 0&a-b&b-c\\ 0&c-b&a-c \end{array}\right|=\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left( a+b+c \right) \left( \left( a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right)}\)
\(\xlongequal{L_3\leftarrow L_3-L_2} \left(b-a\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&1&b+a\\ 0&0&c-b \end{array}\right| =\boxed{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(\xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } -2\left|\begin{array}{ccc} c&b&a\\ c^2&b^2&a^2 \\ c^3&b^3&a^3 \end{array} \right| = -2abc\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ c&b&a \\ c^2&b^2&a^2 \end{array} \right| = \boxed{-2abc\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\) car on reconnaît un déterminant de Vandermonde.
\(\left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&2\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}&-2\sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\\ 0&2\cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}&-2\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2} \end{array}\right| = -4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2} \left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}&\sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\\ 0&\cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}&\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2} \end{array}\right| =\)
\(-4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\left(\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} - \sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} \cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2} \right) = -4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\sin\left({\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} \right) =\boxed{-4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-b\over\scriptstyle 2}}\)
Documents à télécharger
L'exercice