Calculer, sous forme factorisée :

  1. \(\left|\begin{array}{ccc} a-b-c&2a&2a\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right|\)

  2. \(\left|\begin{array}{ccc} 0&a&b\\ a&0&c \\ b&c&0 \end{array} \right|\)

  3. \(\left|\begin{array}{ccc} 1+a&a&a\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right|\)

  4. \(\left|\begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array}\right|\)

  5. \(\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{array}\right|\)
    (appelé déterminant de Vandermonde).

  6. \(\left|\begin{array}{ccc} a+b&b+c&c+a\\ a^2+b^2&b^2+c^2&c^2+a^2 \\ a^3+b^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{array} \right|\)

  7. \(\left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 1&\sin b&\cos b\\ 1&\sin c&\cos c \end{array}\right|\)

\(a,b,c\) sont trois réels.

Barre utilisateur

[ID: 1573] [Date de publication: 29 mars 2021 18:36] [Catégorie(s): Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 98
Par emmanuel le 29 mars 2021 18:36
  1. \(\left|\begin{array}{ccc} a-b-c&2a&2a\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right| \xlongequal{L_1\leftarrow L_1+L_2+L_3} \left|\begin{array}{ccc} a+b+c&a+b+c&a+b+c\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right| =\)
    \(\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 2b&b-c-a&2b\\ 2c&2c&c-a-b \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } \left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 2b&-b-c-a&0\\ 2c&0&-c-a-b \end{array}\right| =\boxed{\left(a+b+c\right)^3}\)

  2. \(\left|\begin{array}{ccc} 0&a&b\\ a&0&c \\ b&c&0 \end{array} \right|=\boxed{2abc}\) par application de la règle de Sarrus.

  3. \(\left|\begin{array}{ccc} 1+a&a&a\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right| \xlongequal{L_1 \leftarrow L_1+L_2+L_3 } \left|\begin{array}{ccc} 1+a+b+c&1+a+b+c&1+a+b+c\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right| =\)
    \(\left(1+a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b&1+b&b\\ c&c&1+c \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } \left(1+a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b&1&0\\ c&0&1 \end{array}\right| =\boxed{{1+a+b+c}}\)

  4. \(\left|\begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array}\right|\xlongequal{C_1 \leftarrow C1+C2+C_3} \left|\begin{array}{ccc} a+b+c&b&c\\ a+b+c&a&b\\ a+b+c&c&a \end{array}\right|=\)
    \(\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&b&c\\ 1&a&b\\ 1&c&a \end{array}\right|\xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array} } \left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&b&c\\ 0&a-b&b-c\\ 0&c-b&a-c \end{array}\right|=\)
    \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left( a+b+c \right) \left( \left( a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right)}\)

  5. \(\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array} } \left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&b-a&b^2-a^2\\ 0&c-a&c^2-a^2 \end{array}\right| =\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&1&b+a\\ 0&1&c+a \end{array}\right|\)
    \(\xlongequal{L_3\leftarrow L_3-L_2} \left(b-a\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 0&1&b+a\\ 0&0&c-b \end{array}\right| =\boxed{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

  6. \(\left|\begin{array}{ccc} a+b&b+c&c+a\\ a^2+b^2&b^2+c^2&c^2+a^2 \\ a^3+b^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{array} \right| \xlongequal{C_1\leftarrow C_1-C_2-C_3} \left|\begin{array}{ccc} -2c&b+c&c+a\\ -2c^2&b^2+c^2&c^2+a^2 \\ -2c^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{array} \right| = -2\left|\begin{array}{ccc} c&b+c&c+a\\ c^2&b^2+c^2&c^2+a^2 \\ c^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{array} \right|\)
    \(\xlongequal{\begin{array}{c}C_2\leftarrow C_2-C_1\\C_3\leftarrow C_3-C_1\end{array} } -2\left|\begin{array}{ccc} c&b&a\\ c^2&b^2&a^2 \\ c^3&b^3&a^3 \end{array} \right| = -2abc\left|\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ c&b&a \\ c^2&b^2&a^2 \end{array} \right| = \boxed{-2abc\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\) car on reconnaît un déterminant de Vandermonde.

  7. \(\left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 1&\sin b&\cos b\\ 1&\sin c&\cos c \end{array}\right| \xlongequal{\begin{array}{c}L_2\leftarrow L_2-L_1\\L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array} } \left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&\sin b-\sin a&\cos b-\cos a\\ 0&\sin c-\sin a&\cos c-\cos a \end{array}\right| =\)
    \(\left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&2\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}&-2\sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\\ 0&2\cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}&-2\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2} \end{array}\right| = -4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2} \left|\begin{array}{ccc} 1&\sin a&\cos a\\ 0&\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}&\sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2}\\ 0&\cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}&\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2} \end{array}\right| =\)
    \(-4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\left(\sin{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}\cos{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} - \sin{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} \cos{\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2} \right) = -4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\sin\left({\scriptstyle c+a\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle b+a\over\scriptstyle 2} \right) =\boxed{-4\sin{\scriptstyle b-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-a\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle c-b\over\scriptstyle 2}}\)


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